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2025北京高三二模数学汇编
第一道解答题（第16题）
一、解答题
1．（2025北京东城高三二模）如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面.
(1)求证：为的中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
2．（2025北京西城高三二模）已知中，．
(1)求的大小；
(2)设为的中点，且，求的面积．
3．（2025北京海淀高三二模）已知函数．
(1)若，求及的单调递增区间；
(2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期．
条件①：；
条件②：是的一个极值点；
条件③：是的一个零点．
4．（2025北京朝阳高三二模）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值．
条件①：在区间上单调递增；
条件②：的最大值为；
条件③：为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2025北京丰台高三二模）在中，．
(1)求；
(2)若,，求边上的高．
6．（2025北京昌平高三二模）在中，为锐角，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证；
（2）求出平面与平面两个面的法向量，用法向量夹角的余弦值得出二面角的余弦值.
【详解】（1）连接，
因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面，
且平面平面，所以，所以为的中点.
（2）如图，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值．
2．(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解；
（2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由，得．
由，得，故，
所以．
（2）由正弦定理得，，即．
由余弦定理得，，
即，解得或（舍）．
所以，
故．
3．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式化简，再代入的值，即可得到函数解析式，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再根据所选条件，得到方程，求出的取值（集合），即可得到函数解析式，从而求出函数的最小正周期.
【详解】（1）因为
，
当时，则，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）因为，在区间上单调递增，且，
所以，解得；
若选①：，又在区间上单调递增，
所以关于对称，且点在递增区间上，
则，所以，解得，
又，所以，
则，所以的最小正周期为；
若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增，
所以在处取得最大值，
则，所以，解得，
又，所以，
则，所以的最小正周期为；
若选③：是的一个零点，
则，所以，解得，
又，所以或，
当时，所以的最小正周期为；
当时，所以的最小正周期为；
4．(1)最小正周期，单调递增区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期性、单调性求解；
（2）分别选择条件后根据条件分析的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求最值即可，若不唯一，则放弃该条件的选择.
【详解】（1）由题意得，
所以的最小正周期，
由，
得．
所以的单调递增区间为．
（2）选择条件①：
由题意得．
由（1）可知的单调递增区间为．
由在区间上单调递增，得
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一，
当时，，
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．????????????????????
选择条件②：
由题意得，
函数最大值为，则只需，
由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②；
选择条件③：
由题意得．
由为偶函数可知，
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一．
当时，，
所以当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角；
（2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出边上的高.
【详解】（1）在中，因为，
由正弦定理及，得，
因为，
所以，
所以．
所以．
（2）因为，
由余弦定理，得，
所以．设边上的高为，
又的面积，
所以，
所以AB边上的高为．
6．(1)
(2)
【分析】对于（1），利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角；对于（2），先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求解.
【详解】（1）