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2025北京高三二模数学汇编
第五道解答题（第20题）
一、解答题
1．（2025北京东城高三二模）设函数，其中.
(1)当时，求的零点：
(2)当时，证明：
（i）1为的极小值点；
（ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数.
2．（2025北京西城高三二模）已知函数，其中．
(1)若曲线在点处的切线经过点，求的值；
(2)证明：函数存在极小值；
(3)记函数的最小值为，求的最大值．
3．（2025北京海淀高三二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的极值点个数；
(3)若且时，都有成立，直接写出的取值范围．
4．（2025北京朝阳高三二模）已知函数．
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；
(3)若存在极值点，且，求的值．
5．（2025北京丰台高三二模）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，求的取值范围．
6．（2025北京昌平高三二模）已知函数，其中．
(1)当时，
①若，求函数的最大值；
②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：；
(2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围．
参考答案
1．(1)1
(2)（i）证明见解析
（ii）证明见解析
【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果；
（2）（i）利用极小值定义即可证明结论；
（ii）先根据题干得到，令函数，求得其在区间上的值域，再令函数，求其在区间上的值域，有交集即可证明结论.
【详解】（1）已知，定义域为，令，
则，解得（舍去）或（舍去）或，故的零点为1.
（2）（i）当时，函数，定义域为，
，则，
当时，所以，
故在区间上单调递减，
当时，所以，
故在区间上单调递增，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故1为的极小值点.
（ii）已知，
故曲线在点处的切线斜率为，
在点处的切线斜率为，
因为与互为相反数，所以，
令，，
则，
当时，单调递增，且，
根据零点存在定理可知：存在，使得，
故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，故函数在区间上的值域为，
令，，
则，
当时，单调递减，且，
故时，恒成立，所以函数在区间单调递减，
故的值域为，
因为当时，，
所以是的子集，
故对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数.
2．(1)
(2)证明见解析
(3)0
【分析】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解；
（2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证；
（3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解.
【详解】（1）求导，得，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）函数的定义域为．
设函数，则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，即．
当变化时，与的变化情况如下：
-
0
+
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故函数存在极小值．
（3）由（2）知，函数有最小值．
由，得．
所以．
设函数，则．
今，得（舍）或．
当变化时，与的变化情况如下：
1
+
0
-
极大值
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，，即当时，．
结合，知当时，．
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时．
所以当时，取得最大值0．
3．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用三阶导数研究函数的单调性可知当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减（），结合极值点的概念即可求解；
（3）由（2）知，当时，若，则，不符合题意；当时，可知，证得在上为上凸函数，即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
，则，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，
令，则，
令，则，
又当时，，，
所以，函数在上单调递增，所以，
即，所以函数在上单调递减，且，
当即时，，即，
所以函数在上单调递增，无极值点；
当即时，，
存在使得，即，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时在上有1个极大值点.
综上，当时，在上无极值点；当时，在上有1个极大值点.
（3）由，且，知，
由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
且，所以.
若，则，不符合题意；
当时，在上单调递增，
满足的情况；
由（2）知，，
，设，
则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即，
所以在上为上凸函数，
则，均有，
所以.
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可；
（2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可；
（3）由极值点的