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2025北京高三二模数学汇编
第三道解答题（第18题）
一、解答题
1．（2025北京东城高三二模）已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示.
(1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
(2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率；
(3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由.
2．（2025北京西城高三二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：
时间
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
11号
12号
13号
14号
15号
搜索量
6.2
5.1
6.1
7.2
6.1
7.4
6.2
6.3
6.4
6.3
7.1
6.3
7.3
7.6
7.9
时间
16号
17号
18号
19号
20号
21号
22号
23号
24号
25号
26号
27号
28号
29号
30号
搜索量
8.5
11.2
10.3
9.1
9.6
10.1
10.6
10.9
8.8
10.4
8.2
11.5
12.1
12.8
13.6
用频率估计概率.
(1)从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
(2)假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；
(3)记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明）
3．（2025北京海淀高三二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
颜色
小学生
初中生
高中生
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
黑色
80
20
40
20
20
20
白色
60
40
30
30
30
10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
(1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率；
(2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望；
(3)假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明）
4．（2025北京朝阳高三二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图：
(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；
(2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论）
5．（2025北京丰台高三二模）为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．
(1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
(2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；
(3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明