深入探索的2024年高考数学试题及答案
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一、多项选择题（每题2分，共10题）
1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，则$f(x)$的对称中心为：
A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(1,3)$
D.$(1,4)$
2.设$A$，$B$，$C$是等边三角形的三顶点，点$D$在边$BC$上，若$AD=3$，$CD=2$，则$BD$的长度为：
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt{10}$
3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，则数列的公差为：
A.2
B.3
C.4
D.5
4.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为：
A.$y=x$
B.$y=-x$
C.$y=0$
D.$y=\pmx$
5.已知$a0$，$b0$，$a+b=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最大值为：
A.2
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.4
6.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$和$x=2$时取得极值，则$a$，$b$，$c$的关系为：
A.$a+b+c=0$
B.$a-b+c=0$
C.$a+b+c=1$
D.$a-b+c=1$
7.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，则$f(x)$的零点为：
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
8.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，则数列的首项为：
A.2
B.3
C.4
D.5
9.设复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为：
A.$y=x$
B.$y=-x$
C.$y=0$
D.$y=\pmx$
10.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为：
A.$y=x$
B.$y=-x$
C.$y=0$
D.$y=\pmx$
二、判断题（每题2分，共10题）
1.函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$在定义域内单调递增。（）
2.等差数列$\{a_n\}$的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$。（）
3.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$的图像关于点$(1,2)$对称，则$f(x)$在$x=1$处取得极值。（）
4.在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，公比$q=3$，则$a_3=18$。（）
5.复数$z=1+i$的模为$\sqrt{2}$。（）
6.若$A$，$B$，$C$是等边三角形的三顶点，点$D$在边$BC$上，则$BD+CD=BC$。（）
7.在平面直角坐标系中，点$(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为$(2,1)$。（）
8.二项式定理中，当$n=3$时，展开式共有$4$项。（）
9.函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像为抛物线，且开口方向与$a$的符号相同。（）
10.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为直线$y=0$。（）
三、简答题（每题5分，共4题）
1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式。
2.给定函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求该函数的导数$f(x)$，并说明函数的单调性。
3.设复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，求复数$z$在复平面上的轨迹方程。
4.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，已知$S_5=50$，$S_8=80$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。
四、论述题（每题10分，共2题）
1.论述函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像与系数$a$，$b$，$c$之间的关系，包括图像的开口方向、顶点坐标以及与坐标轴的交点情况。
2.论述复数在数学中的应用，包括在几何、代数和三角学中的具体例子，并说明这些应用如何简化问题的解决过程。
五、单项选择题（每题2分，共10题）
1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，则$a$的取值范围是：
A.$a0$
B.$a0$
C.$a\geq0$
D.$a\leq0$
2.在直角坐标系中，点$(2,3)$关于原点的对称点是：
A.$(2,-3)$
B.$(-2,3)$
C.$(-2,-3)$
D.$(2,3)$
3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，