第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．（2025北京密云高二上期末）函数的导函数的图象如图所示，下列选项正确的是（????）
A．在区间上单调递减
B．是的极小值点
C．是的极大值点
D．曲线在处切线的斜率小于零
2．（2024北京海淀高二上期末）已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
3．（2023北京朝阳高二上期末）已知函数有两个极值点，则（????）
A．或 B．是的极小值点 C． D．
4．（2023北京人大附中高二上期末）设，则（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（????）
A． B．
C． D．
6．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数，则（????）
A．是偶函数
B．曲线在点处切线的斜率为
C．在上单调递增
D．有一个零点
7．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数，则“有极值”是（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（????）
A．曲线在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上单调递增
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点
二、填空题
9．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为．
10．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是．
三、解答题
11．（2025北京密云高二上期末）已知函数，.
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：．
12．（2025北京密云高二上期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)求的极值．
13．（2025北京朝阳高二上期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
14．（2025北京五中高二上期末）已知函数.
(1)当时，求的零点个数；
(2)设，函数.
（i）判断的单调性；
（ii）若，求的最小值.
15．（2024北京海淀高二上期末）已知函数．
(1)当时，求证：在上是增函数；
(2)若在区间上存在最小值，求的取值范围；
(3)若仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出的取值范围．（结论不要求证明）
16．（2024北京朝阳高二上期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
17．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数．
(1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围；
(2)讨论零点的个数；
(3)证明，，有．
18．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数，．
(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数的单调区间．
19．（2023北京朝阳高二上期末）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，求的最大值与最小值．
20．（2023北京清华附中高二上期末）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线与直线的公共点个数，并说明理由；
(3)若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项.
【详解】对于A，由图象可知，当时，，函数单调递增，故A错误；
对于B，由图象可知，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，故不是的极小值点，故B错误；
对于C，由图象可知，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，故是的极大值点，故C正确；
对于D，由图象可知，则曲线在处切线的斜率大于零，故D错误.
故选：C.
2．C
【分析】分，，三种情况讨论，将恒成立问题分参转化为最值问题，借助导数及函数的性质计算即可.
【详解】当时，不等式恒成立；
当时，此时，即，
即对任意恒成立，
令在上单调递减，则，故.
当时，此时，即，
即，对任意恒成立，
令，其中，则，
令，则，
所以在上单调递减，
又，要使在恒成立，
则在恒成立，
即在恒成立，
令，则在上单调递减，，
所以.
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值.
3．A
【分析】根据函数有两个极值点，
则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.
【详解】因为函数有两个极值点，
所以有两个根,
所以,,故选项错误;
因为有两个根,
所以,即得,解得或,故选项正确;
因为有两个根,
在上单调递增,在上单