转动惯量和切变模量的测量
DH4601A三线摆和扭摆试验仪
转动惯量和切变模量的测量
转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于外形简洁的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算其转动惯量。对于外形简单、质量分布不均匀的刚体，通常利用转动试验来测定其转动惯量。三线摆法和扭转摆法是其中的两种方法。为了便于与理论计算值比较，试验中的被测刚体均承受外形规章的刚体。
［试验目的］
加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解；
了解用三线摆和扭摆测转动惯量的原理和方法；
把握周期等量的测量方法
［试验装置和原理简介］一、三线摆
图1是三线摆示意图。上、下圆盘
均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立柱和底座〔图中未画出〕支承着。三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。拨动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动，从而带动下圆盘绕中心轴OO＇作扭摆运动。当下圆盘的摆角θ很小，并且无视空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时，依据能量守恒定律或者刚体转动定律都可以推出下圆盘绕中心轴OO＇的转动
惯量J0为
mgRr
0020J?4?2H T
0
0
2
0
0
〔1〕 图1 三线摆示意图
式中，m0为下圆盘的质量；r和R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；
H0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T0为下圆盘的摇摆周期，g为重力加速度。北京地区的重力加速度为9.80ms-2。
将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO＇上。
测出此时的摇摆周期T和上下圆盘间的垂直距离H，则待测刚体和下圆盘对中
心轴的总转动惯量J1为
(m ?m)gRr
J ? 0 T21 4?2H
〔2〕
待测刚体对中心轴的转动惯量J与J0和J1的关系为
J=J1－J0 〔3〕
利用三线摆可以验证平行轴定理。平行轴定理指出：假设一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为Jc，则这刚体对平行于该轴、且相距为d的另一转
轴的转动惯量Jx为
Jx=Jc+md2 〔4〕
式中，m为刚体的质量。
x试验时，将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为R1的圆周上的二个孔上，如图2所示。测出二个圆柱体对中心轴OO＇的转动惯量J。假设测得的Jx值与由〔4〕式右边计算得的结果比
x
较时的相对误差在测量误差允许的范围内〔≤5%〕，
则平行轴定理得到验证。二、扭摆
图1 二孔对称分布
将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。图3表示扭摆的悬挂物为圆盘。在圆盘上施加一外力矩，使之扭转一角度θ。由于悬线上端是固定的，悬线因扭转而产生弹性恢复力矩。外力矩撤去后，在弹性恢复力矩M作用下圆盘作往复扭动。无视空气阻尼力矩的作用，依据刚体转动定理有
M?J??? 〔5〕
0
式中，J
0
为刚体对悬线轴的转动惯量，???为角加速度。弹性恢复力矩M转角θ
的关系为
M??K? 〔6〕
式中，K称为扭转模量。它与悬线长度L，悬线直径d及悬线材料的切变模量G有如下关系
K?
扭摆的运动微分方程为
?Gd4
32L
〔7〕
?????K? 〔8〕
J
0
可见，圆盘作简谐振动。其周期T为
0
J1K0T
J1
K
0
0
3
〔9〕
01假设悬线的扭摆模量K，则测出圆盘的摇摆周期T后，由〔9〕式就可计算出圆盘的转动惯量。假设K未知，可利用一个对其质心轴的转动惯量J1的物体将它附加到圆盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。此复合体对以悬线为轴的转动惯量为J0+J复合体的摇摆周期T为
0
1
J ?J0K1
J ?J
0
K
1
由〔9〕式和〔10〕式可得
T2
〔10〕
J ?
0 T2
0
0T2
0
J 〔11〕
1
K? 4?2 J
〔12〕
T2?T2 1
0
测出T
0
和T后就可以计算圆盘的转动惯量J
0
和悬线的切变模型G。
图3 扭摆
圆环对悬线轴的转动惯量J1有以下计算
m? ?
J? 1 D2?D2 〔13〕
和1 8 1 2
和
1式中，m1为圆环的质量；D
1
D分别为圆环的内直径和外直径。
2［试验任务］
2
1、用三线摆测定下圆盘对中心轴OO＇的转动惯量和圆柱体对其质心轴的
1
转动惯量。要求测得的圆柱体的转动惯量值与理论计算值〔J?
mr2 ，r为圆
2
1 1
柱体半径〕之间的相对误差不大于5%。2、用三线摆验证平行轴定理。
3、用扭摆测定圆盘的转动惯量和切变模量。
［试验仪器］
三线摆及扭摆试验仪、水准仪、米尺、游标卡尺、物理天平及待测物体等。
［仪器使用］
1、翻开电源，程序预置周期