数学快捷算法实例与2024年试题及答案
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一、多项选择题（每题2分，共10题）
1.若函数$f(x)=\sqrt{4-x^2}$的定义域为$[a,b]$，则$a$，$b$的取值范围是（）
A.$a=-2$，$b=2$
B.$a=0$，$b=2$
C.$a=-2$，$b=0$
D.$a=0$，$b=1$
2.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，若$f(x)=0$的根为$a$，$b$，$c$，则$a+b+c=$（）
A.0
B.3
C.-3
D.-9
3.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1=1$，$a_4=7$，则$a_7=$（）
A.12
B.15
C.18
D.21
4.已知等比数列$\{b_n\}$的公比为$q$，且$b_1=2$，$b_3=16$，则$b_5=$（）
A.32
B.64
C.128
D.256
5.已知复数$z=3+4i$，则$|z|^2=$（）
A.25
B.49
C.81
D.121
6.已知直线$l_1:2x+y-1=0$，$l_2:4x+2y+1=0$，则两直线的夹角是（）
A.$0^\circ$
B.$45^\circ$
C.$90^\circ$
D.$135^\circ$
7.已知圆$C:(x-1)^2+(y+2)^2=9$，则圆心$C$到直线$3x+4y-11=0$的距离是（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.3
8.已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，若$f(x)=2$，则$x=$（）
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.3
9.已知数列$\{c_n\}$的通项公式为$c_n=n^2+2n$，则$c_3+c_4+c_5=$（）
A.54
B.63
C.72
D.81
10.已知数列$\{d_n\}$的通项公式为$d_n=3^n-2^n$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{d_{n+1}}{d_n}=$（）
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{3}$
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二、判断题（每题2分，共10题）
1.若$y=\sinx$，则$x=\frac{\pi}{2}$是$y=\sinx$的极值点。（）
2.若函数$f(x)=x^3-3x+1$在区间$(-\infty,+\infty)$上单调递增。（）
3.等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n-1$，则$a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=5$。（）
4.等比数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=2^n$，则$b_1=2$，$b_2=4$，$b_3=8$。（）
5.若复数$z=3+4i$，则$z$的共轭复数为$\overline{z}=3-4i$。（）
6.直线$l_1:2x+y-1=0$和直线$l_2:4x+2y+1=0$是平行的。（）
7.圆$C:(x-1)^2+(y+2)^2=9$的半径为$3$。（）
8.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=1$处无定义。（）
9.数列$\{c_n\}$的通项公式为$c_n=n^2+2n$，则$c_3=15$。（）
10.数列$\{d_n\}$的通项公式为$d_n=3^n-2^n$，则$\{d_n\}$是递增数列。（）
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三、简答题（每题5分，共4题）
1.简述利用配方法解一元二次方程的步骤。
2.简述等差数列和等比数列的通项公式及其推导过程。
3.简述求圆的标准方程的方法。
4.简述函数的单调性、奇偶性和周期性的定义。
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四、论述题（每题10分，共2题）
1.论述如何运用数学归纳法证明一个数列的通项公式。
2.论述如何运用数形结合的方法解决函数问题，并举例说明。
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五、单项选择题（每题2分，共10题）
1.若函数$f(x)=x^2-4x+4$在区间$[1,3]$上单调递增，则$a$的取值范围是（）
A.$a\leqslant1$
B.$1a\leqslant3$
C.$a3$
D.$a=3$
2.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项为$a_1=3$，公差为$d=2$，则第10项$a_{10}=$（）
A.23
B.25
C.27
D.29
3.已知等比数列$\{b_n\}$的第一项