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文件名称:2025北京丰台高一(下)期中数学(A卷)(教师版).docx
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更新时间:2025-05-24
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2025北京丰台高一(下)期中

数学(A卷)

考试时间:120分钟

第I卷(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.在复平面内,复数对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.()

A. B. C. D.

3.用斜二测画法画水平放置的正方形,若该正方形的边长为,则其直观图的面积是()

A. B. C. D.

4.如图,在矩形中,为的中点,则()

A. B.

C. D.

5.已知,,,则()

A. B. C. D.

6.已知,,且与的夹角为,则()

A. B. C. D.

7.已知某长方体的长、宽、高分别为、、,且该长方体的所有顶点都在球的球面上,则球的表面积为()

A. B. C. D.

8.在中,,则的形状一定为()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

9.如图,为了测量两山顶、间的距离,飞机沿水平方向在、两点进行测量,、、、在同一个铅垂平面内.在点测得、的俯角分别为和,在点测得、的俯角分别为和,,则为()

A. B. C. D.

10.在△中,,,.为△所在平面内的动点,且,则的取值范围是()

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11.已知,,,则___.

12.已知复数为纯虚数,则___.

13.在中,,.

①若,则___;

②若有两个,则的一个值可以为___.

14.如图,一个直三棱柱容器中盛有水,侧棱.若侧面水平放置时,水面恰好过的三等分点(靠近和),此时容器中的水形成的几何体为___(填“棱柱”或“棱台”).当底面水平放置时,水面高为___.

15.已知平面内三个向量,,满足,且,,给出下列四个结论:

①若,则射线平分;

②若,则的最小值为;

③若,则△面积是△面积的4倍;

④若,,设点到所在直线的距离为,则的取值范围为.

其中所有正确结论的序号是___.

三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.已知、都是锐角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

17.已知,,且.

(1)求的值;

(2)设,,记与的夹角为,求的值.

18.在中,,.

(1)求的值;

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求的面积.

条件①:;

条件②:

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

19.在中,,.

(1)求;

(2)求周长的取值范围.

20.已知函数.

(1)求的单调递减区间;

(2)若在区间上恒成立,求的最小值;

(3)若,,求的值.

21.设为正整数,集合.对于集合中的任意元素和,记.

(1)当时,若,,求和的值;

(2)当时,若,,求的最大值;

(3)给定不小于2的,设是集合的子集,且满足:对于中的任意两个不同的元素和,都有.求集合中元素个数的最大值.

参考答案

考试时间:120分钟

第I卷(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.【答案】D

【分析】由复数的几何意义可得结论.

【详解】复数在复平面内的点的坐标为,位于第四象限.

故选:D.

2.【答案】A

【分析】利用平面向量的加法和减法化简可得结果.

【详解】.

故选:A.

3.【答案】B

【分析】作出直观图,求出高,结合平行四边形的面积可求得直观图的面积.

【详解】如下图所示:

在直观图中,,,

易知四边形为平行四边形,则,

故直观图的面积为.

故选:B.

4.【答案】A

【分析】根据向量加法的三角形法则结合向量的数乘运算即可.

【详解】在矩形中,,

因为为的中点,所以,

故选:A.

5.【答案】D

【分析】根据已知结合二倍角的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正切公式的逆用化简可得.

【详解】化简;

显然;

.

所以,.

故选:D.

6.【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值.

【详解】因为,,且与的夹角为,

由平面向量数量积的定义可得,

所以,

故选:B.

7.【答案】C

【分析】设球的半径为,由题意可知,长方体的体对角线长等于球的直径,可求出的值,再利用球体表面积公式可求得球的表面积.

【详解】设球的半径为,由题意可知,长方体的体对角线长等于球的直径,

所以,,

因此,球的表面积为.

故选:C.

8.【答案】A

【分析】由余弦定理化简得出,