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2025北京育才学校高二（下）期中
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知，则（）
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
3.袋中共有个球，其中个白球，个黑球．从袋中抽取个球，其中恰有一个白球的概率为（）
A. B. C. D.
4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
5.在等比数列中，，若，则（）
A.17 B.16 C.14 D.13
6.已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（）
A.7 B.8 C.9 D.10
8.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则()
A. B. C. D.
9.等比数列中，，记，则数列（）
A.无最大项，无最小项 B.有最大项，有最小项
C.无最大项，有最小项 D.有最大项，无最小项
10.已知是等差数列的前项和，且.以下有四个命题：①数列中的最大项为；②数列的公差；③；④.其中正确的序号是（）
A.②③ B.②③④ C.②④ D.①③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.若函数，则________．
12.一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9，0.8，0.8，在一小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率_____．
13.已知为等差数列，为其前n项和．若，则公差____，数列的前5项和为___________．
14.是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不存在，说明理由．
15.已知数列满足，，给出下列四个结论：
①存在，使得为常数列；
②对任意的，为递增数列；
③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；
④对于任意的，都有.
其中所有正确结论的序号是_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式，前n项和；
（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
17.某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：
高一
高二
高三
A地
B地
A地
B地
A地
B地
满意
12
2
18
3
15
6
一般
2
2
6
5
6
8
不满意
1
1
6
2
3
2
假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．
（1）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；
（2）分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；
（3）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生
人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明）
18.已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程．
19.已知在数列中，，，_____，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求数列的前项和．
从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答．
①数列的前项和；
②；
③且．
20.地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.
明年冬小麦统一收购价格（单位：元）
概率
表1
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.
（1）试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；
（2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；
（3）地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.
21.已知数列满足，，数列的前n项和为,
，其中．
（1）求的