第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2025北京交大附中高二（下）期中
数学
2025.04
说明：本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数，则（）
A.2 B. C. D.
2.已知，则等于（）
A.1 B.3 C.1或4 D.1或3
3.二项式的展开式中常数项是（）
A.1 B.4 C.6 D.0
4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（???）
A. B.
C. D.
5.从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（）
A.60种 B.50种 C.40种 D.30种
6.函数的图象大致为（）
A.B.C. D.
7.甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（）
A.36种 B.42种 C.54种 D.72种
8.设，，则是的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
9.已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（）
A. B. C. D.
10.若对函数的任意一条切线，均存在唯一一条切线使得，则称该函数为正交函数.给出下列四个函数：
①，②，③，④.
其中正交函数的个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11._______.（用数字表示）.
12.已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则____________.
13.写出“使函数在上存在最值”的实数的一个值为_________.
14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________.
15.已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是________.
三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.已知，，若的展开式中，所有二项式系数的和为32.
（1）求的值；
（2）求的系数；
（3）求的值.
17.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对恒成立.求实数的取值范围.
18.已知函数，.已知直线分别交曲线和于点，，当时，设的面积为，其中是坐标原点.
（1）写出的函数解析式；
（2）求的最大值.
19.已知函数,其中.
(Ⅰ)若,求的单调区间;
(Ⅱ)若的最小值为1,求的取值范围.
20.已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求证：是上的单调递减函数；
（3）设实数使得对恒成立，求的最小值.
21.设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及．
（1）若，，，，求；
（2）若，均为中的元素，且，，求的最大值；
（3）若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.【答案】C
【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】由题意可得，
所以.
故选：C
2.【答案】D
【分析】根据组合数的定义和性质分析求解.
【详解】因为，则或，
解得或，检验可知均符合题意.
故选：D.
3.【答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令的指数为，即可求出对应展开式的常数项.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，得，所以展开式的常数项为.
故选：.
4.【答案】B
【分析】利用导数的几何意义可知为该点切线的斜率，由图可知处的切线斜率比处的切线斜率大，为两点处的斜率，比较即可得出.
【详解】根据导数的几何意义，如图，
分别表示在点处切线的斜率，又因为
由图可知
故选：B.
5.【答案】D
【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①选出的3人为2男1女，有种选法；
②选出的3人为1男2女，有种选法；
所以一共有种选法.
故选：D.
6.【答案】A
【分析】利用导数判断函数的单调性