第一章函数与极限
第一节函数
§１、1函数内容网络图
区间
定义域 不等式
定义集合
对应法则
表格法
表达方法图象法
初等函数
解析法
非初等函数
单调性
函数得特性奇偶性
函数周期性
有界性
定义
反函数
重要得函数存在性定理
复合函数
符号函数:
几个具体重要得函数取整函数:,其中[x]表示不超过x得最大整数、
狄里克雷函数:
§1、2内容提要与释疑解难
一、函数得概念
定义:设A、B就就是两个非空实数集,如果存在一个对应法则ｆ,使得对Ａ中任何一个实数x,在Ｂ中都有唯一确定得实数y与x对应,则称对应法则f就就是A上得函数,记为
、
y称为x对应得函数值,记为、
其中x叫做自变量,y又叫因变量,A称为函数f得定义域,记为D(f),,称为函数得值域,记为R(ｆ),在平面坐标系Oxｙ下,集合称为函数ｙ=f(x)得图形。函数就就是微积分中最重要最基本得一个概念,因为微积分就就是以函数为研究对象,运用无穷小及无穷大过程分析处理问题得一门数学学科。
1、由确定函数得因素就就是定义域、对应法则及值域,而值域被定义域和对应法则完全确定,故确定函数得两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数就就是否为同一函数时,只要看这两个函数得定义域和对应法则就就是否相同,至于自变量、因变量用什么字母,函数用什么记号都就就是无关紧要得。
2、函数与函数表达式得区别:函数表达式指得就就是解析式子,就就是表示函数得主要形式,而函数除了用表达式来表示,还可以用表格法、图象法等形式来表示,不要把函数与函数表达式等同起来。
二、反函数
定义设ｙ＝ｆ(x),,若对Ｒ(f)中每一个y,都有唯一确定且满足y=f(ｘ)得与之对应,则按此对应法则就能得到一个定义在Ｒ(f)上得函数,称这个函数为f得反函数,记作
、
由于习惯上用x表示自变量,y表示因变量,所以常把上述函数改写成、
1、由函数、反函数得定义可知,反函数得定义域就就是原来函数得值域,值域就就是原来函数得定义域。
2、函数y＝f(x)与x=ｆ－1(y)得图象相同,这因为满足y=f(ｘ)点(x,ｙ)得集合与满足ｘ=f-1(ｙ)点(ｘ,y)得集合完全相同,而函数y=f(x)与y=f-１(ｘ)图象关于直线y=x对称。
3、若y=f(x)得反函数就就是x=ｆ－１(y),则
4、定理１(反函数存在定理)严格增(减)得函数必有严格增(减)得反函数。
三、复合函数
定义设,若,则y通过u构成x得函数,称为由y=f(u)与复合而成得函数,简称为复合函数,记作。
复合函数得定义域为,其中x称为自变量,ｙ称为因变量,u称为中间变量,称为内函数,f(u)称为外函数。
1、在实际判断两个函数能否构成复合函数,只要看得定义域就就是否为非空集,若不为空集,则能构成复合函数,否则不能复合函数。
2、在求复合函数时,只要指出谁就就是内函数,谁就就是外函数,例如y＝f(x),y=ｇ(x),若y＝ｆ(x)作为外函数,ｙ=g(ｘ)作为内函数。则复合函数,若作为外函数,作为内函数,则复合函数为ｙ=g(f(x))。
3、我们要学会分析复合函数得复合结构,既要会把几个函数复合成一个复合函数,又要会把一个复合函数分拆成几个函数得复合。
四初等函数
常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。
大家一定要记住基本初等函数得定义域,值域,会画她们得图象,并且要知道这些函数在哪些区间递增,在哪些区间递减,就就是否经过原点？与坐标轴得交点就就是什么？以后我们常常要用到。
由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到得函数统称为初等函数。
不就就是初等函数称为非初等函数。
一般来说,分段函数不就就是初等函数,但有些分段函数可能就就是初等函数,例如
,就就是由复合而成。
五具有某些特性得函数
1、奇(偶)函数
定义设D就就是关于原点对称得数集,y=f(x)为定义在D上得函数,若对每一个,都有,则称y=f(x)为Ｄ上得奇(偶)函数。
(1)定义域关于原点对称就就是函数为奇(偶)函数得必要条件。
(２)若f(x)为奇函数,则f(0)=0,事实上,由定义知ｆ(－0)=－f(０),有f(０)=-ｆ(0),得f(0)=0、
2、周期函数
定义