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2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
导数的概念及其意义
一、单选题
1．（2025北京密云高二上期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（????）
A． B．
C． D．
2．（2025北京朝阳高二上期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（????）
A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
3．（2024北京朝阳高二上期末）为了响应国家节能减排的号召，甲?乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（????）
A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快
C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D．该月内存在某一时刻，甲?乙两厂污水排放量减少的速度相同
4．（2023北京十一学校高二上期末）已知为奇函数，当x＜0时，，则曲线在点处的切线斜率是（????）
A．－2 B．2 C．－e D．
5．（2023北京朝阳高二上期末）设函数，则曲线在点处的切线方程为（????）
A． B． C． D．
6．（2023北京十一学校高二上期末）已知函数，则该函数的图象在处的切线方程为（????）
A． B． C． D．
7．（2023北京人大附中高二上期末）设在处可导，则（????）
A． B． C． D．
参考答案
1．B
【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果.
【详解】令则直线的斜率为
则.
故选：B.
2．D
【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.
【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，
乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误；
对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，
故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误；
对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于，
乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于，
故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误；
对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快，
故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.
故选：D.
3．D
【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲?乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲?乙两厂污水排放量减少的速度相同.
【详解】选项A，设，
设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为，
结合图像可知：，
所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；
选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知，
直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度，
而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，
从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；
????
选项C，设为接近的时刻且，
从时刻到时刻，污水排放量平均变化率，
由导数的定义与几何意义可知，
在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替.
设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为，
结合图象可知，
所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；
??
选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等，
即甲?乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，
所以该月内存在某一时刻，甲?乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确.
故选：D.
??
4．B
【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可.
【详解】当时，因为为奇函数，
所以有，则有，所以有，
故选：B
5．B
【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，进而即可得切线方程.
【详解】因为，所以，所以，
即在处切线方程的斜率为，
又因为，所以切线方程为，整理得，
故选：B
6．A
【分析】先求出函数的导数，再赋值法求出，然后得到的函数解析式可得切点，后将数