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5.2解析函数孤立奇点
1、孤立奇点分类及性质
2、施瓦兹引理
3、皮卡定理
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2
§1孤立奇点
1、孤立奇点定义
比如
孤立奇点
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3
奇点未必
是孤立.
若函数奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.
2、孤立奇点分类
注
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4
2.1可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即
特点?
“可去”一词解释?
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5
2.2极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即
特点?
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2.3本性奇点：展式中含有没有穷多个z-z0负幂项,
特点?
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7
3、函数在孤立奇点性质
若z0为f(z)孤立奇点，则以下条件等价：
性质1（可去奇点判定定理）
证：只须证
显然
由极限定义即可
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其中
因为
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9
性质2（m级极点特征）
证：
去心邻域
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则
比如：
为f(z)一个4级极点，
为f(z)单极点.
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注意：在判断孤立奇点类型时，不要一看
到函数表面形式就急于作出结论.比如
利用洛朗展式轻易知道，z=0分别是它们单极点，可去奇点，2级极点.
性质3若z0为f(z)孤立奇点，则
z0为f(z)极点充要条件是
在判断函数极点时，请比较性质2和性质3.
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性质5
分析
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13
比如，
1
5
性质6（极点运算性质）
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性质7z0为f(z)本性奇点
注：在求复变函数极限时，也有同实
函数类似罗必塔法则.
由性质1和性质3，得
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定理5.7若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点
a充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为
本性奇点.
证（反证法）
①若z=a为?(z)可去奇点(解析点),
都与假设
②若z=a为?(z)极点
a为f(z)可去奇点
?
?
a为f(z)可去奇点
a为f(z)极点
?
?
?
?
矛盾！
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答：
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性质8(Weierstrass)定理
比如：
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点).依据前面(1)段结果,必定有一个趋向a点列{zn}存在,使得
可能有这种情形发生,在点a任意小邻域内有这么
一点z存在,使f(z)=A.定理得证
不然,a必为f(z)可去奇点.
.这么,由定理5.7,函数
在K-{a}内解析,且以a为本
性奇点(因a为f(z)本性奇
由此推出
所以,我们能够假定,在点a充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A
证(1)在A＝∞情形,定理是正确.因为函
数f(z)模在a任何去心邻域内都是无界.
(2)现在设
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定理5.9(毕卡(大)定理)假如a为f(z)本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).
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席瓦尔兹(Schwarz)引理假如函数f(z)在
单位圆|z|1内解析,而且满足条件
f(0)=0,|f(z)|1(|z|1),
则在单位圆|z|1内恒有|f(z)|≤|z|,
且有|f/(0)|≤1.
5.2.4Schwarz引理
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证设
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本讲小结：
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