关于幂级数及其收敛性课件第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日
一般形式为②幂级数，幂级数更一般的形式为它显然可以通过变量代换y=x-x0方法化为式②.一、幂级数及其收敛性第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日
则称幂级数为不缺项的，否则称为缺项的幂级数.例如幂级数缺x的奇次幂，叫缺项的幂级数，又如是不缺项的幂级数.第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日
定理如果该幂级数收敛;该幂级数发散.记作R,R=.即第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日
因为它不一定是正项级数，证若将x看成是一个确定的值，那么就得到一个数项级数，为此，我们可对幂级数的各项取绝对值，得这是一个正项级数.运用比值审敛法.因为第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日
也就是说显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，一般项不趋近于零.由级数收敛的必要条件可知该幂级数发散.因此它必然收敛.第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日
可运用上述定理求收敛半径例2试求幂级数的收敛区间.解所给的幂级数为不缺项的，它是发散的.此为调和级数，第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日
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例3求幂级解所给幂级数缺少x的奇次幂项，对此正项级数利用比值审敛法因此不能直接利用公式求收敛半径R.是一个缺项幂级数，第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日
所求幂级数绝对收敛.第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日
幂级数收敛.例4解运用正项级数的比值审敛法.第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日
区间端点处:当x=0时，第12页，共38页，星期日，2025年，2月5日
一、麦克劳林(Maclaurin)公式二、直接展开法三、间接展开法8.2.2、函数的幂级数展开第13页，共38页，星期日，2025年，2月5日
泰勒(Taylor)公式如果函数f(x)在x=x0有直到(n+1)阶的导数，则在这个领域内有如下公式:一、麦克劳林(Maclaurin)公式①第14页，共38页，星期日，2025年，2月5日
其中称为拉格朗日型余项.①式称为泰勒公式.就得到②第15页，共38页，星期日，2025年，2月5日
②式称为麦克劳林公式.幂级数我们称之为麦克劳林级数.那么它是否以函数f(x)为和函数呢?③第16页，共38页，星期日，2025年，2月5日
即那么，级数③收敛于函数f(x)的条件为若令麦克劳林级数③的前n+1项和为第17页，共38页，星期日，2025年，2月5日
注意到麦克劳林公式②与麦克劳林级数③的关系，可知于是，当时，有反之，若必有第18页，共38页，星期日，2025年，2月5日
这表明，麦