专题04函数与导数经典小题
求某点的导数值
1．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三上学期期中）已知函数?，则?（????）
A．? B．1 C．? D．5
【答案】B
【分析】利用导数运算求得.
【详解】，
令得.
故选：B
2．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中年高三上学期期中）已知函数的导函数为，且满足，则（???）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，令，即可求解.
【详解】由，可得，所以，则.
故选：B.
求曲线上一点的切线方程
3．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）函数在处的切线方程为.
【答案】
【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点纵坐标，得到切线方程.
【详解】，故，
又，
所以，即
故答案为：
4．（湖北省部分省级示范高年高三上学期期中）已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则，曲线在处的切线方程是．
【答案】
【分析】根据题意求得的对称轴，结合已知函数解析式，以及导数的几何意义，即可求得结果.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即，
用代替，得到，故关于对称，
当时，，则，
所以时，，则，
故，，
故曲线在处的切线斜率，切点坐标为，
故切线方程为，即．
故答案为：；．
过点的切线方程
5．（黑龙江省大庆中年高三上学期期中）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（????）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．
【详解】设切点为，
由已知得，则切线斜率，切线方程为
直线过点，则，化简得
切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或
故选：C
6．（江苏省淮安市高中校协作年高三上学期期中）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=.
【答案】或/或
【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.
【详解】解：∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
∴切线方程为：,
∵切线过原点，
∴,整理得：,
∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，
∴,解得或,
∴或,
故答案为：或
公切线问题
7．（湖北省鄂北六年高三上学期期中）若曲线和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（????）
A． B． C．1 D．－1
【答案】A
【分析】利用导数求出曲线的切线方程，再与曲线y＝x2＋mx＋1联立，结合判别式即可求解.
【详解】设，则，
曲线与切线相切于，
则切线方程为：①
因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，
联立①②：x2＋mx＋1=，
所以，
所以，
所以，
则有，解得，
故选：A
8．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为.
【答案】
【分析】先分别求出和的导数，然后设公共切点的坐标为，，根据题意有，，代入相应表达式列出方程组，解出与的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．
【详解】，，则有，．
设公共切点的坐标为，，则
，，
，．
根据题意，有
，解得．
公切线的切点坐标为，切线斜率为2．
公切线的方程为，即．
故答案为：
求单调区间
9．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）函数的图象大致为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先对求导，利用导数与函数的单调性得到的单调区间与极大值点，再令求得有唯一零点，从而排除选项BCD，而选项A的图象满足的性质要求，由此得解.
【详解】因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值点为，且，
令，则，得，且，
即在上有唯一大于的零点.
对于B，其图象的极大值点为，矛盾，故B错误；
对于C，其图象先减后增，矛盾，故C错误；
对于D，其图象有两个零点，矛盾，故D错误；
对于A，其图象满足上述结论，又排除了BCD，故A正确.
故选：A.
10．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）已知函数，则函数的单调递增区间是．
【答案】
【分析】利用导数法求单调区间即可
【详解】函数，其定义域，
则在恒成立，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：.
已知单调求参数
11．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【