例2解第30页，共43页，星期日，2025年，2月5日例3解第31页，共43页，星期日，2025年，2月5日中南财经政法大学数学分析第1页，共43页，星期日，2025年，2月5日§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法第2页，共43页，星期日，2025年，2月5日收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1第3页，共43页，星期日，2025年，2月5日性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.第4页，共43页，星期日，2025年，2月5日性质2第5页，共43页，星期日，2025年，2月5日h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若第6页，共43页，星期日，2025年，2月5日再由柯西准则的充分性,第7页，共43页，星期日，2025年，2月5日二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f在任何收敛的充要条件是:证设第8页，共43页，星期日，2025年，2月5日非负函数f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.3(比较判别法)设定义在上的两个增函数的收敛判别准则,从而F(u)是单调递增的由单调递存在满足第9页，共43页，星期日，2025年，2月5日证由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.第10页，共43页，星期日，2025年，2月5日例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例3第11页，共43页，星期日，2025年，2月5日推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且证由于第12页，共43页，星期日，2025年，2月5日证即第13页，共43页，星期日，2025年，2月5日第14页，共43页，星期日，2025年，2月5日推论2设f是定义在上的非负函数,在任何第15页，共43页，星期日，2025年，2月5日限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.第16页，共43页，星期日，2025年，2月5日例4讨论的收敛性(k0).解(i)第17页，共43页，星期日，2025年，2月5日若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法何有限区间[a,u]上可积,定理11.4(绝对收敛的无穷积分必收敛)若f在任第18页，共43页，星期日，2025年，2月5日因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因第19页，共43页，星期日，2025年，2月5日收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于第20页，共43页，星期日，2025年，2月5日瑕积分的性质与收敛判别,与无穷积§3瑕积分的性质与收敛判别内容大都是罗列出一些基本结论,并举分的性质与收敛判别相类似.因此本节例加以应用,而不再进行重复论证.第21页，共43页，星期日，2025年，2月5日定理11.7（瑕积分收敛的柯西准则）证柯西准则，此等价于第22页，共43页，星期日，2025年，2月5日性质1性质2第23页，共43页，星期日，2025年，2月5日性质3定理11.8(非负函数瑕积分的判别法)第24页，共43页，星期日，2025年，2月5日定理11.9(比较法则)第25页，共43页，星期日，2025年，2月5日推论1第26页，共43页，星期日，2025年，2月5日推论2第27页，共43页，星期日，2025年，2月5日推论3可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.第28页，共43页，星期日，2025年，2月5日例1由于第29页，共43页，星期日，2025年，2月5日中南财经政法大学数学分析