关于插值法均差与牛顿插值公式第1页，共37页，星期日，2025年，2月5日**2.3.1均差及其性质我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多第2页，共37页，星期日，2025年，2月5日**拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为第3页，共37页，星期日，2025年，2月5日**当依次可得到。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。第4页，共37页，星期日，2025年，2月5日**一、差商(均差)定义2.称第5页，共37页，星期日，2025年，2月5日**第6页，共37页，星期日，2025年，2月5日**二、均差具有如下性质：第7页，共37页，星期日，2025年，2月5日**例第8页，共37页，星期日，2025年，2月5日**这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关(差商的对称性)。即第9页，共37页，星期日，2025年，2月5日**性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点则n阶均差与导数关系如下：第10页，共37页，星期日，2025年，2月5日**三、均差的计算方法(表格法):规定函数值为零阶均差均差表第11页，共37页，星期日，2025年，2月5日**例1:已知下表，计算三阶差商1347021512解：列表计算一阶差商二阶差商三阶差商10321415134712-1-3.5-1.25第12页，共37页，星期日，2025年，2月5日**2.3.2牛顿插值公式第13页，共37页，星期日，2025年，2月5日**第14页，共37页，星期日，2025年，2月5日**我们称为牛顿(Newton)均差插值多项式。称为牛顿均差插值多项式的截断误差。第15页，共37页，星期日，2025年，2月5日**第16页，共37页，星期日，2025年，2月5日**第17页，共37页，星期日，2025年，2月5日**第18页，共37页，星期日，2025年，2月5日**显然：第19页，共37页，星期日，2025年，2月5日**例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。x0124f(x)19233第20页，共37页，星期日，2025年，2月5日**解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为Lagrange插值多项式为第21页，共37页，星期日，2025年，2月5日**（2）Newton插值多项式：建立差商表为一阶差商二阶差商三阶差商0119822314343-10-8第22页，共37页，星期日，2025年，2月5日**Newton插值多项式为（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，便得到第23页，共37页，星期日，2025年，2月5日**练习：已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6，试确定数据y。第24页，共37页，星期日，2025年，2月5日**四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较第25页，共37页，星期日，2025年，2月5日**第26页，共37页，星期日，2025年，2月5日