关于微分中值定理(2)第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日*Rolle定理Lagrange中值定理小结思考题作业Chauchy中值定理§3.1微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用推广泰勒公式(第三节)第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日*本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段AB上,⌒至少有与连接此曲线两端点的弦平行.几何事实:一点处的切线连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.有水平的切线第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日*Rolle定理(1)(2)(3)罗尔Rolle,(法)1652-1719使得如,一、罗尔(Rolle)定理第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日*物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日*Fermat引理费马Fermat,(法)1601-1665有定义,如果对有那么内的某邻域在点设函数)()(00xUxxf,)(0存在且xf￠函数导数为0的点也称为驻点、稳定点或临界点。第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日*Rolle定理(1)(2)(3)使得证所以最值不可能同时在端点取得.使有由Fermat引理,第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日*(1)定理条件不全具备,注结论不一定成立.Rolle定理(1)(2)(3)使得]1,0[,)(?=xxxf这三个条件只是充分条件，而非必要条件(2)罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点,有的函数这样的点可能不止一个.第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日*例证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证Rolle定理的正确性.Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.,)2,1(内可导在-第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日*例证零点定理即为方程的小于1的正实根.(1)存在性第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日*(2)唯一性对可导函数f(x),f(x)=0的两实根之间,在方程的一个实根.Rolle定理还指出,至少存在方程满足Rolle定理的条件.矛盾,故假设不真!第11页，共33页，星期日，2025年，2月5日*例.试证方程分析注意到:第12页，共33页，星期日，2025年，2月5日*证设且Rolle定理即试证方程第13页，共33页，星期日，2025年，2月5日*Rolle定理Lagrange中值定理第14页，共33页，星期日，2025年，2月5日*注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理(1)(2)使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间baMeanValueTheorem第15页，共33页，星期日，2025年，2月5日*证作辅助函数由此得Lagrange中值公式且易知微分中值定理第16页，共33页，星期日，2025年，2月5日*微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为“最有价值定理”（MVT）。MeanValueTheorem它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数第17页，共33页，星期日，2025年，2月5日*几何解释:物理解释:某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在t=a到t=b的时间段内,连续运动的物体至少会在第18页，共33页，星期日，2025年，2月5日*Lagrange公式可以写成下面的各种形式:它表达了函数增量和某点的注但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称Lagrange中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.第19页，共33页，星期日，2025年，2月5日*推论例证由推论第20页，共3