并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解第31页，共64页，星期日，2025年，2月5日即是的最小值所以因此第32页，共64页，星期日，2025年，2月5日作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差第33页，共64页，星期日，2025年，2月5日例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得第34页，共64页，星期日，2025年，2月5日法方程组为解得平方误差为第35页，共64页，星期日，2025年，2月5日拟合曲线与散点的关系如右图:第36页，共64页，星期日，2025年，2月5日例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为第37页，共64页，星期日，2025年，2月5日6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为Go!第38页，共64页，星期日，2025年，2月5日用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735拟合的平方误差为图象如图第39页，共64页，星期日，2025年，2月5日例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式第40页，共64页，星期日，2025年，2月5日例：xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一：设baxxxPy+=?)(求a和b使得最小。?=-+=miiiiybaxxba12)(),(jButhey,thesystemofequationsforaandbisnonlinear!Takeiteasy!Wejusthavetolinearizeit…线性化/*linearization*/：令，则bXaY+?就是个线性问题将化为后易解a和b。),(iiYX),(iiyx第41页，共64页，星期日，2025年，2月5日方案二：设xbeaxPy/)(-=?(a0,b0)线性化：由可做变换xbay-?lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+?就是个线性问题将化为后易解A和B),(iiYX),(iiyx第42页，共64页，星期日，2025年，2月5日两边取对数,得得即为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为第43页，共64页，星期日，2025年，2月5日用最小二乘法得即无论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为第44页，共64页，星期日，2025年，2月5日定义权函数：①离散型/*discretetype*/根据一系列离散点拟合时，在每一误差前乘一正数wi，即误差函数?，这个wi就称作权/*weight*/，反映该点的重要程度。?=-=ni