创新方案高考数学复习人教新课标函数asinωxφ图象及三角函数模型的简单应用高中数学

一、函数asinωx+φ的图象及性质

1.函数图象

对于函数y=asinω(x+φ)，该函数的自变量x在[-1/ω-φ,1/ω-φ]内取遍定义域为[-∞,+∞]的所有值，因此我们可以通过对[0,2π]中若干个特殊点进行分析，从而得到它的图象。

特殊点的选择方法：选择一些满足x+φ=kπ（k∈Z）的x值，例如：当k=0,±1,±2……时，x+φ分别为0,±π,±2π，此时，y的值分别为0,±π/2,±π。

以k=0,1,2,3,4为例，下面给出函数y=asinω(x+φ)的图象：

当ω＞0时，函数y=asinω(x+φ)的图象为两支曲线，中心对称于x=φ，最高和最低点在y=1和y=-1，如果ω0，则图象上下翻转。

2.函数性质

①定义域：[-∞,+∞]

②值域：[-π/2,π/2]

③奇偶性：

当φ=0时，y=asinωx是奇函数，即具有对称中心原点；

当φ≠0时，y=asinω(x+φ)是偶函数，即对称中心为x=-φ。

④单调性：

当ω＞0时，y=asinω(x+φ)在[-1/ω-φ,1/ω-φ]上单调递增；

当ω＜0时，y=asinω(x+φ)在[-1/ω-φ,1/ω-φ]上单调递减。

⑤周期性：

函数y=asinω(x+φ)的周期为2π/|ω|。

二、三角函数模型的简单应用

解题思路：首先通过实际问题，明确要用到的三角函数模型，然后利用已知条件列出方程，进而解出未知量。

1.例题1

一个直径为6cm的轮子半径穿过一浅水槽，水深1.5cm，如果轮子每秒转3/min，求轮子到水面的距离随时间的变化率。

解析：轮子离水面的距离始终为半径r，因此该问题可以利用正弦函数模型求解：sinθ=1.5/r，其中θ为轮子一周转过的角度。

又因为θ与时间t的关系式：θ=6πt。

因此sinθ=1.5/r可转化为r=1.5/sin(6πt)

根据题目所求，距离随时间的变化率为r(t)，因此有：

r(t)=-1.5cos(6πt)/[sin(6πt)]^2*6π

化简后得r(t)=-9πcos(6πt)/[sin(6πt)]^2cm/min

2.例题2

一个炮手从地面发射炮弹，仰角为30°，发射速度为600m/s。炮弹击中目标时，其下降角度为45°，求目标到发射点的距离。

解析：该问题可以利用正弦函数模型求解：h=v0^2sin^2θ/2g，其中v0为发射速度，θ为仰角。

又因为炮弹在空中的时间与下降时间之和等于炮弹总飞行时间，故可利用余弦函数模型求解水平距离D：

D=v0cosθ(v0sinθ/g+2v0sinθ*sin45°/g)

将h和D联立解得目标到发射点的距离。