新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月份月考数学试题
一、单选题
1．如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（???）
A．B．C． D．
2．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（???）
A．1 B． C． D．
3．曲线在处的切线方程为（???）
A． B．
C． D．
4．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（????）
A． B． C． D．
6．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（???）
A．或1 B．2或 C． D．1
7．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（???）
A． B． C． D．
10．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（???）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是曲线的对称中心
D．
11．对于函数，下列说法正确的是（???）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
三、填空题
12．已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为.
13．若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为．
14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是.
四、解答题
15．已知函数.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若函数的单调递增区间为，求实数的值.
16．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值.
17．已知函数，.
(1)证明：方程有唯一解；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
18．已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)，若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程．
19．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（i）证明：是上的“好函数”．
（ii）设，证明：．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
B
B
C
A
A
BD
AD
题号
11
答案
ACD
12．
13．
14．
15．（1）由题意，函数的定义域为，
当时，，则，由得，
由得；由得.
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
所以函数的最小值为.
（2）由题意，，
①当时，在上恒成立，在上单调递增，不合题意；
②当时，由即得，
的单调递增区间为，由已知得，所以.
16．（1）由题意得,
当时，此时恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得或，
令，得，
故在和单调递增，在单调递减，
综上可得时，的单调递增区间为，
当时，的递增区间为，，递减区间为
（2）由（1）知，时，函数才有极值，
，
，
因此，解得，
因此，
，，
，
因此.
17．（1）由得，
因为，所以，所以在上单调递减，
又，所以函数只有一个零点，
即方程有唯一解，且为1；
（2），
则恒成立等价于恒成立，所以在上恒成立，
记，则，，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，故得，
即实数的取值范围为；
（3）若有两个零点，等价于有两个解，
也等价于直线与函数有两个交点.
则，记，，
由反比例函数和对数函数的单调性易知在上单调递减，又，
所以当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增，
当时，，当时，，则，
作出函数的图象如下：
由图可知：直线与函数有两个交点等价于，
故实数的取值范围为.
18．（1）因为，所以，
所以，
所以所求切线方程为；
（2）因为，所以，
设过原点的切线切于点，
则切线方程为：，又其过原点，
所以，所以，
所以切线l的方程为，即为．
19．（1）由题可知任意，
且，，即，解得，
因为，所以解得，即的取值范围为．
（2）（i）设，
则．??????????
令，且，???????????????
则，则在上单调递增，??
得到，即，??????????????????????
故是上的“好函数”.
（ii）由（i）可知，当时，，????????
令，则，
即，
故，
化简可