景德镇市2025届高三第三次质检试题
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
D
C
B
D
1．B【解析】由题知，则，故选B．
2．C【解析】，∴，表示在复平面内与对应的两点之间的距离，∴的最大值是3，故选C．
3．B【解析】由函数奇偶性定义可知，故选B．
4．D【解析】对于A，也可能，A错误；对于B，可能相交，B错误；对于C，显然不能推出，C错误；D正确，故选D．
5．D【解析】，∵，∴，即，解得，∴，故选D．
6．C【解析】如图，，，∴．又，∴，根据勾股定理．在中，根据正弦
定理可知，即，
解得，故选C．
7．B【解析】∵，∴，且，解得．∴．
∴设切点横坐标为，∴切线方程为．将代入切线方程得，∵，∴对于斜率最大得切线，切点，∴，①正确．分别过向轴引垂线分别与斜率为的切线交于两点，由图易知，而，∴，即，②错误．故选B．
8．D【解析】将与的方程联立，得，动圆的方程为，∴切线长，即的轨迹是以为圆心为半径的圆，设线段中点为，∵
，而（不能三点共线），∴的最大值是，故选D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．
9
10
11
CD
ABD
AC
9．CD【解析】令代入解得，解得，A错误；∵，∴
，B错误；由可知，解得，C正确；，当且仅当时取等号，D正确．故选CD．
10．ABD【解析】设点，，解得．又，∴点，
直线的斜率为，直线的倾斜角为.A正确；设点，，
的方程为，联立，消去可得．则
，，所以，的斜率之和为
，B正确；
若，则，即，∴，经验证不符题意，C错误；
，D正确．故选：ABD．
11．AC【解析】∵，令，∴．当时，，∴，A正确；注：．
当符合题意，但不为周期函数，B错误；∵当时，单调递增，且，∴当时，，∴当时，，C正确；如右图为函数当时的部分图象，显然该函数符合题意，但，D错误．故选AC．
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．
12．13．14．
12．【解析】∵的最小正周期为，∴，，∴，∵，∴，
∴，，故在区间上的值域为．
13．【解析】由正弦定理可得，解得，易知当时，△面积取得最大值为．到平面的距离为，直线与平面所成角为，由可知是以为顶点的等腰直角三角形，当该面垂直于平面时，点到平面的距离最大，最大距离为，∴三棱锥体积的最大值为．
14．【解析】事件即“在第6次在的条件下第3次不在”，根据贝叶斯公式可得．我们将三个点看作为一个整体，如果某次在，则下次一定不在；如果某次不在，则下次在与不在的概率分别为与．∴，
，∴．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．
15．（本小题13分）
解：（1）∵，解得．又，解得．又，
，得，∴或，∴或．…6分
（2）∵为递增数列，则，，，…………………7分
∴……①，……②，
两式相减得：．………13分
16．（本小题15分）
解：（1）证明：（1）∵，为的中点，∴．
又∵，为的中点，∴，．
∴平面．……………3分
∵平面，∴平面平面．……………5分
（2）如图以为坐标原点，分别以为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系．…………………6分
取中点，连接，∵，∴．
由上问可知平面，∴，故平面．………7分
∵，，∴．又，∴．……………8分
∴，,,，…………9分
设平面的法向量为，
∴，令，则．…………11分
同理可求得平面法向量，………………13分
∴，………………14分
yxzE∴平面与平面的夹角的正弦值是.………15分
y
x
z
E
17．（本小题15分）
解：（1）由，解得．
……………………2分
……………………4分
（2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4，所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，可取0，1，2
,,
所以的分布列为
0
1
2
………………8分
所以
………………10分
（3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概