第=page11页，共=sectionpages11页
2025年中考数学二轮专题考点
将军饮马模型
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第II卷（非选择题）
一、解答题：本题共16小题，共128分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.(本小题8分)
某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，在?ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，求
(2)几何拓展：如图3，在?ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB，AC上各取一点M，N，使CM+MN的值最小，则最小值是
2.(本小题8分)
【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
(1)【分析问题】小亮：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的.(如图2)
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只需要说明AC+CBAC′+C′B．
请你帮助小亮写出说理过程．
(2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使得走过的路程最短.(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线)
3.(本小题8分)
【问题提出】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．
解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
(1)如图2，在等边△ABC中，E是AB上的中点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的一动点，若AD=6，则PE+PB的最小值为??????????；
(2)【拓展运用】如图3，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA=5?km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
4.(本小题8分)
(1)2002年世界数学家大会会标(如图1)的中央图案是经过艺术处理的“弦图”(如图2)，它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出a、b、c满足的等量关系为______．
(2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：已知线段AB=8，点C在线段AB上，AC=x,BC=y，求x2+4+y2+16的最小值．他们解决问题的思路是：如图3，在线段AB的同侧构造了两个Rt?ACD和Rt?BCE，
(3)如图4，在ΔABC中，∠CAB=30°，点D、E分别为AB、BC上的动点，且BD=CE,AC=23
5.(本小题8分)
数学模型学习与应用：
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．
——《古从军行》[唐]李颀
【模型学习】
诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图①所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B，A′B与直线l的交点即为点P.此时PA+PB的值最小．
(1)【模型应用】
如图②，已知△ABC为等边三角形，高AH=8?cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的值最小时，在图中确定点P的位置(要有必要的画图痕迹，不写画法)；
②PD+PB的最小值为________cm；
(2)【模型变式】如图③所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO=10?m，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点(不与各边顶点重合)，求△PQR周长的最小值．
6.(本小题8分)
唐朝诗人