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2025年中考数学总复习《二次函数与新定义的综合》专项测试卷带答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标：
(2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
2．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”．
(1)求直线上的“倍点”的坐标；
(2)已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，设，求的取值范围；
(3)如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，和，且满足，求m的值．
3．在同一平面直角坐标系中，已知x轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点C和点D，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”．
(1)如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．当时，根据题意可知，则当时则当时则．由上述分析请你直接写出正比例函数的“虫洞距离”为
(2)如图2是函数的图象和是其“虫洞”
①求函数的“虫洞距离”
②如图3函数和函数位于同一个平面直角坐标系若两个函数的“虫洞距离”相等求t的值．
4．在平面直角坐标系中将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示）点A的“关联点”是点．
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(1)请在如图的基础上画出函数的图象简要说明画图方法
(2)如果点在函数的图象上求点的坐标
(3)将点称为点的“待定关联点”（其中）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上试用含n的代数式表示点的坐标．
5．定义把函数的图象绕点旋转得到新函数的图象我们称是关于点P的相关函数函数的图象的顶点纵坐标为m．
(1)当时求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）
(2)若当时函数的最大值为最小值为且求函数的解析式
(3)当时函数的图象与直线y=2相交于AB两点（点A在点B的右侧）与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转得到它的对应线段若线段与函数的图象有公共点结合函数图象请直接写出a的取值范围．
6．我们定义【】为函数的“特征数”如：函数的“特征数”是【】函数的“特征数”是【】函数的“特征数”是【】．
(1)若一个函数的特征数是【】将此函数的图象先向左平移个单位再向上平移个单位得到一个图象对应的函数“特征数”是______．
(2)将“特征数”是【】的函数图象向上平移个单位得到一个新函数这个新函数的解析式是______．
(3)当“特征数”是【】的函数在直线和直线之间的部分包括边界点的最高点的纵坐标为时求的值．
(4)点关于轴的对称点为点点关于轴的对称点为点当若（3）中的抛物线与四边形的边有两个交点且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为时直接写出的值为常数
7．定义把函数：（）的图象绕点旋转180°得到新函数的图象我们称是关于点的相关函数函数的图象的顶点纵坐标为.例如：当时函数关于点的相关函数为.
(1)当时求新函数的顶点（用含的代数式表示）
(2)若当时函数的最大值为最小值为且求函数的解析式
(3)当时函数的图象与直线相交于两点（点在点的右侧）与轴相交于点把线段绕点逆时针旋转90°得到它的对应线段若线段与函数的图象有公共点结合函数图象求的取值范围.
8．定义：若n为常数当一个函数图象上存在横纵坐标和为n的点则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”例如：点（12）是函数图象关于3的“恒值点”．
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(1)判断点是否为函数图象关于10的“恒值点”．
(2)如图1抛物线与x轴交于AB两点（A在B的左侧）现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折抛物线的其余部分保持不变所得的新图象如图2所示．
①求翻折后AB之间的抛物线解析式．（用含b的代数式表示不必写出x的取值范围）
②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时请用含b的代数式表示c．
9．在数学活动课上小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变纵坐标变为A