§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识梳理
1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面．
推论2：两条相交直线确定一个平面．
推论3：两条平行直线确定一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a?α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b的夹角．
(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)
(4)两两相交的三条直线共面．(×)
2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1夹角的余弦值是()
A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)
C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),3)
答案D
解析连接BD(图略)，由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1的夹角，
不妨设正方体的棱长为a，则BD＝eq\r(2)a，BD1＝eq\r(D1D2＋BD2)＝eq\r(3)a，
所以cos∠DD1B＝eq\f(DD1,D1B)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).
3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
答案BCD
解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，
根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；
如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；
如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；
如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误．
图1图2图3
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析(1)由题意知，EF∥AC，EH∥BD，
且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，
∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH且EF⊥EH，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
题型一基本事实的应用
例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
证明(1)如图所示，
连接B1D1.