基本信息

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文档摘要

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一、回扣教材，纠错例析

5．立体几何

[要点回扣]

1．空间几何体的三视图

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．

[对点专练1]若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()

[答案]A

2．斜二测画法

在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”

[对点专练2]如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．

[答案]2eq\r(2)

3．计算空间几何体的表面积和体积

(1)分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；

(2)进行合理的转化和一些必要的等积变换．

[对点专练3]如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()

A．4πB．3πC．2πD.eq\f(3,2)π

[答案]D

4．与球有关的切接问题

长方体外接球半径为R时有(2R)2＝a2＋b2＋c2；棱长为a的正四面体内切球半径r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq\f(\r(6),4)a.

[对点专练4]已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

[答案]eq\f(\r(3),3)

5．空间直线、平面的位置关系

不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件．

[对点专练5]已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的________条件．

[答案]充分不必要

6．用向量求空间中角的公式

(1)直线l1，l2夹角θ有cosθ＝|cosl1，l2|；

(2)直线l与平面α的夹角θ有：

sinθ＝|cosl，n|(其中n是平面α的法向量)；

(3)平面α，β夹角θ有cosθ＝|cosn1，n2|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ.(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)

[对点专练6]已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________．

[答案]eq\f(\r(6),4)

7．用空间向量求A到平面α的距离公式

d＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,|n|).

[对点专练7]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为________．

[答案]eq\f(\r(2),4)

[易错盘点]

易错点1三视图认识不清致误

【例1】已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．

[错解]eq\f(4000,3)

[错因分析]没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．

[正解]如图所示，作几何体S－ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于点E，得SE⊥平面ABCD且SE＝20.

∴VS－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·SE＝eq\f(8000,3)；

∴这个几何体的体积是eq\f(8000,3).

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．

[对点专练1]

(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()

A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C．1D.eq\f(1,3)

(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为________．

[解析](1)由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，∴所求体积V＝V柱－V锥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2＝eq