***Ch4矩阵的特征值与特征向量理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，熟练掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法理解矩阵特征值与特征向量的概念及性质，熟练掌握矩阵的特征值和特征向量的求法理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵与对角阵相似的充要条件及矩阵相似对角化的方法*我们试图找一下“线性变换在基变换下的不变量”。已有的不变量：线性方程组的解在初等行变换下不变；线性方程组最终的阶梯形；在初等变换下矩阵的秩；在初等变换下矩阵的等价标准形；另外，线性变换在不同基下矩阵的关系？是否可能在某组基下线性变换的矩阵变成最简单的形式？相似标准形！在本课程中不准备展开关于相似标准形的讨论，我们只准备讲授它的特殊形式—对角形，并指出有的情形下这种特殊形式不可能做到。*问题：对于一个给定的n阶矩阵A，是否存在n元非零向量a,使得Aa与a平行（或倍数关系）？如果有，a如何求？*特征值特征向量几何表示特征值(eigenvalue)与特征向量(eigenvector)A：n?n矩阵?：纯量x：Rn中的非零向量*定义：特征向量为非零向量！特征值问题针对于方阵而言！特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.*矩阵的特征值与特征向量的求法：(或基础解系)图示：两集合无公共向量Aλ1统领的特征向量全体λ2统领的特征向量全体**定理：三角矩阵的特征值的求法若A为一个n?n的三角矩阵，则其特征值为其主对角线上的元素例：求对角矩阵及三角矩阵的特征值解：*(i).A的特征值就是特征方程的解；(ii).特征方程在复数范围内一定有n个根（重根按重数计算）。因此，n阶方阵A有n个特征值。实矩阵的特征值不一定是实数，复数特征值是共轭成对出现的；特征值与特征向量的步骤*例1：求矩阵的特征值与特征向量。解：（这就是特征值。）（下面求特征向量。）**线性无关的特征向量只有一个。*例证采用类似的方法我们可以得到以下几个重要公式*3.特征值的求法公式：非常重要的公式，一定要背过。*Ex*特征多项式的性质：?定理：设n级方阵A=(aij)的特征多项式的根是?1,?2,…,?n，则推论：n级方阵A可逆的充分必要条件A无零特征根。或n级方阵A奇异的充分必要条件A的特征根至有少一个为零。*上面定理描述为矩阵A的迹：矩阵A的迹等于特征值的和矩阵A的行列式等于特征值的乘积?定理（Hamilton-Caylay定理）设A是数域P的一个n级方阵，A的特征多项式是：则在求行列式时特别有用。*例：例：40特征值与特征向量的性质：证：用数学归纳法。(4,2,5)*回忆线性无关的证明方法！左乘A（1）（1）左乘（2）（3）（2）减（3）得：代回（1）得：下面证明m时成立。*把上列各式写成矩阵的形式，得或采用下面证法*上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，各不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆。于是有证*推论：*定理：特征空间证明：X与Y为特征值?所对应的特征向量*例：平面中的特征空间求下列矩阵的特征值及所对应的特征空间假设位于x轴的向量特征值为解：*位于y轴的向量特征值为就几何上来说，矩阵A与在R2中的向量的乘积为对称于y轴的映射对应于的特征空间为x轴对应于的特征空间为y轴*解特征方程式：特征值为：例求特征值、特征向量与每个特征值所对应特征空间的维度*对应于的特征向量为故特征空间的维度为2的特征空间为对应于2,100001=?t?yü???íì?úú?ùêê?é+úú?ùêê?élRtsts*注意：(1)若特征值?为特征多项式的k个重根，则?的重数(multiplicity)为k特征值的重数往往会大于或等于其特征空间的维度,对应着为特征方程的解空间的维数在数学上，矩阵表示线性变换，因此上面讨论的特征问题实际上为空间的变换问题****