浅析函数的上下极限及其应用
摘要：作为数学分析中最基本但最重要的内容之一，极限理论常常以各种形式出现于整个数学分析。它成功打破了近似到精确的壁垒，跨越了有限到无限的鸿沟，从萌芽到最终建立，从定性认识到定量认识，在经历了几千年的更新发展后，极限理论已然成为现代数学中不可或缺的一部分，是众多概念和理论的基础，也是人类发现和解决数学问题的重要手段。
关键词：上极限；下极限；数列；函数
目录
TOC\o1-3\h\z\u1引言 1
2数列、函数的上、下极限的定义 2
2.1数列的上、下极限的定义 2
2.1.1数列的上、下极限的定义 2
2.1.2数列的上、下极限的几个定义的等价性 3
2.2函数的上、下极限的定义 4
2.2.1函数的上、下极限的定义 4
2.2.2函数的上、下极限的几个定义的等价性 5
3数列、函数的上、下极限的性质 7
3.1数列的上、下极限的性质 7
3.2函数的上、下极限的性质 9
4数列、函数的上、下极限的应用 13
4.1上、下极限性质的应用举例 13
4.2上、下极限的应用在极限运算及证明中的作用 14
4.3上、下极限来刻画数列收敛的充要条件 16
4.4上、下极限概念在数列与级数论中的作用 17
5结束语 19
主要参考文献 21
1引言
众所周知，极限的理论对于高等数学这栋大楼来说是地基的存在，几乎所有后续的理论都是建立在极限的思想上，例如函数连续性、导数、微积分、级数的收敛和发散、偏导数、多元函数、广义积分、多重积分、曲线积分和曲面积分的收敛和发散等，因此极限的重要性不言而喻，熟知极限的定义与性质并能灵活地运用成了每个数学专业学生的必修课。“数学极限法的创造是数个世纪以来对简单的算术、代数和初等几何方法无法解决的问题进行顽强探索的结果。”这是来自拉夫伦捷夫的评价。
对于极限的渊源可以追溯到春秋战国时期。道家代表人庄子在《庄子》的“天下篇”中写道：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。这意思是，有一尺长的木棍，每天都把前一天剩下的棍子砍下一半，木棍永远无法砍完。也就是说，余数将慢慢地接近零，但永远不会成为零。墨家则持有不同的观点，提出了“非半”。墨子说：“非半弗，则不动，说在端”。这意味着，如果一条直线段被无限地除以一半和一半，就会有一个“非半”不能再被分割，而这个“非半”就是一个点。道家思想是“无限分裂”，而墨家思想认为无限分裂最终会导致“不可分割”。
公元3世纪，极限思想被中国古代杰出的数学家刘徽在实际问题中得以应用。最著名的方法就是“割圆术”，用于计算圆的面积。极限和连续函数概念经过推广、扩展和深化在近代数学的许多分支中创造了重要的概念和理论。17世纪时解析几何诞生，作为数学发展的一个转折点。在17世纪下半叶时，在前人大量的研究工作与理论的基础上，微积分诞生了，由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨创造。此外，牛顿在《流数简论》中提出了流数法。后来由法国数学家柯西首次建立严格的极限理论，并由德国数学家维尔斯特拉斯最终完成。
直到19世纪，Weierstrass才首次提出了极限的静态定义。他用数字及其大小关系代替了原本人们常用来描述极限的两个字眼，“无限”与“接近”。它对“”的定义远不如基于运动和直觉的描述性定义容易理解。这也反映了数学概念的抽象性。概念越抽象，离具体的原型越遥远，就越能准确地剖析原型，将原型的本质呈现。
上限和下限的概念是极限概念的延伸。由于在进行正项级数的收敛性判别时，上限与下限是必不可少的，所以它们也是数学分析中的重要理论部分。关于上下限的定义和性质的相关理论，已有文献已经取得了比较丰富的成果。本人找参考了13篇相关文献，文献一到文献四提供了数列以及函数上下极限的定义与等价定义的证明，文献五到文献九提供了数列以及函数上下极限的性质与证明，文献十到文献十三提供了在证明数列和函数极限是否存在时数列以及函数上下极限相关理论的应用。从这些文献的研究可以正确理解和认识序列和函数的上下限，有助于更好地理解序列、函数，尤其是非收敛序列和函数的内部结构。本文将在上述文献的基础上，进一步研究和总结数列和函数上下限的定义、性质、相关理论和应用，以加深对数学分析、实变函数等课程内容的理解，提高学习数学的能力。
2数列、函数的上、下极限的定义
2.1数列的上、下极限的定义
2.1.1数列的上、下极限的定义
对于收敛数列，如果粗略地把作为“充分大时，大小”的量度。那么，对于一般数列，可以提这样的问题“当充分大的时候，能有多大（小）？这就是上、下极限概念