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矩阵最小多项式的求解方法与应用研究
目录TOC\o1-3\h\z\u
摘要 I
1引言及定义 1
1.1引言 1
1.2相关定义 2
2最小多项式的性质 3
3最小多项式的求解方法 8
3.1不变因子法 8
3.2特征多项式法 11
3.3待定系数法 13
3.4若尔当标准形法 14
4最小多项式的应用 16
4.1简化多项式 16
4.2求矩阵的逆 17
4.3求线性空间的维数和基 18
4.4判别方阵能否相似对角化 20
4.5求解微分方程组 22
4.6求解矩阵方程 27
5总结 31
参考文献 32
摘要
本文对矩阵最小多项式的定义和性质进行简述，且给出了相关计算的若干方法，包括不变因子法、特征多项式法、待定系数法、若尔当标准形法，同时分析对角矩阵、分块矩阵最小多项式求法。然后对这种多项式的应用价值进行说明，主要是讨论了其在求解线性空间问题、判别方阵能否相似对角化、求多项式矩阵的逆、求解微分方程组和矩阵方程等方面的应用。
关键词：矩阵；最小多项式；特征多项式；矩阵函数；应用
1引言及定义
1.1引言
在高等代数的学习中，我们首先学习的内容就是多项式，它为我们之后学习的内容奠定了一定的基础。例如，在进一步学习其他的代数问题时，或其他数学问题时，亦或是在关于高次方程的讨论中。而在多项式理论中，我们经常遇到的便是特征多项式、零化多项式，但其实最小多项式也是多项式中重要的一部分。除此之外，矩阵随处可见，它是在行列式的基础上演变而来的，有各种各样的形式，不同的形式可应用于不同的问题，不管是在理论上还是与我们息息相关的实际生活中，在代数学里，作为一个主要的研究对象，它可以说是贯穿代数始终。在数学问题中，矩阵和多项式经常成对出现，他们之间的就像是相辅相成的关系，可以说矩阵的任何元素都可以是多项式，而任何一个多项式都可以对应一个多项式矩阵，其中矩阵的最小多项式理论是矩阵理论中的难点之一。
在大学学过的《高等代数》一书中，矩阵最小多项式的相关内容并不多，只给了我们一些关于定义与性质的阐述，而对于其他的方面例如最小多项式的求解，最小多项式的应用等相关内容的讨论还是较少。实际上，在判断一个矩阵是否能够相似对角化上，或者如何求矩阵多项式或矩阵多项式的逆，观察矩阵的特征值和若尔当标准形，以及微分方程组的求解等方面，矩阵最小多项式都可以发挥特别重要的作用。例如，在微分方程组中，我们普遍的解法是通过矩阵的特征多项式来求解矩阵函数，但是在某些情况下，比如当特征多项式的次数较高，直接运用较为麻烦，并且特征多项式不是矩阵的最小多项式时，利用最小多项式来代替进行求解，可以让所求的方程组的阶数降低，减少计算量；或者在求解矩阵多项式时，可根据带余除法，将所给的多项式用最小多项式来表出，用余式来求解问题，且余式的次数一定小于所给的多项式次数，也能在一定程度上减少计算量，达到简化计算的目的。
1.2相关定义
在《高等代数》教材中给出了哈密顿-凯莱定理REF_Ref100255486\r\h[1]，相应的定理内容如下，设是域上矩阵，是的特征多项式，这种条件下可确定出关系式
由此可得，数域P上任意一个n阶矩阵A，总会有上一个多项式，使得矩阵多项式。
定义1若多项式使，则称为的零化多项式，或者说其以为根。
根据理论分析结果可知，的零化多项式并不唯一，其原因在于任意的多项式和这种多项式相乘的条件下，所得到的新的多项式仍然可以将零化。对于任意的矩阵，我们常接触到的它的零化多项式就是它的特征多项式。但是在该矩阵的所有零化多项式中，我们发现其特征多项式的次数并不一定是最低的，由此我们可得：
定义2次数最低，且首项系数为1的的零化多项式叫做它的最小多项式，记为REF_Ref100255486\r\h[1]。
2最小多项式的性质
基于以上的定义，而书中对性质的阐述较少，在翻阅书本以及查看一些文献之后，总结归纳了最小多项式的一些性质，在本节中只列举其中的8条，作为下一节求解的基础。
性质1矩阵的最小多项式唯一。
证明为方便分析而假设和都是的最小多项式，这种条件下依据带余除法，我们可以将表成，其中或者，于是有
由于和便可以得到，根据最小多项式的定义我们可以知道不可能存在，因此可得，即有，同理可以证明，所以和之间相差的不可能是次数比他们低的多项式，而只能是一个非零的常数因子使，又由最小多项式的定义知道和的首项系数都是1，故有，即证明其唯一性。
性质2设矩阵的最小多项式是，那么整除的任一零化多项式，特别的有，。
证明