内容1．掌握复二次型的规范形、实二次型的规范形、实二次型的惯性指标.、符号差等概念。2．掌握实二次型的惯性定律的定义和证明.*是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线性变换将，则B与A合同.反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得.通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将.F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.定理数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。等价的二次型具有相同的秩。*二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是下面要讨论的惯性定理复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.*复二次型的规范形定理复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.证显然只要证明第一个论断.条件的必要性是明显的.我们只要证条件的充分性.设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r，则分别存在复可逆矩阵P和Q，使得**取n阶复矩阵的一个平方根.得证.*实二次型的规范形定理实数域上每一n阶对称矩阵A都合同于如下形式的一个矩阵：（1）这里r等于A的秩.证由前面的定理知，实对称矩阵必合同对角阵，即：存在实可逆矩阵P，使得*如果r0，必要时交换两列和两行，我们总可以假定*取那么*定理实数域上每一n元二次型都与如下形式的一个二次型等价：（1）这里r是所给的二次型的秩.二次型（1）叫做实二次型的规范形式，该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个规范形式等价.在规范形式里，平方项的个数r等于二次型的秩，并且是唯一确定的（见下面的惯性定理）.*定理4（惯性定律）设实数域R上n元二次型等价于两个规范形式（2）（3）那么证设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换（4）（5）*化为所给的二次型如果不妨设考虑个方程的齐次线性方程组（6）因为所以因此，方程组（6）在R内有非零解.令是（6）的一个非零解.把这一组值代入的表示式*（4）和（5）.记我们有*然而所以因为都是非负数，所以必须又所以是齐次线性方程组的一个非零解.这与矩阵的非奇异性矛盾.*这就证明了.同理可证得.

所以由这个定理，实数域上每一个二次型

都与其唯一的规范形式（1）等价.在（1）中，正平方项的个数p叫做所给二次型的惯性指标（正惯性指数）.正项的个数p与负项的个数r–p（负惯性指数）的差s=p–(r–p)=2p–r叫做所给的二次型的符号差.

一个实二次型的秩，惯性指标和符号差都是唯一确定的.*定理5实数域上两个n元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差.证设是实数域上两个n元二次型.令分别是它们的矩阵.那么由定理2，存在实可逆矩阵P，使得如果等价，那么合同.于是存在实可逆矩阵Q使得.取，那么*因此