★用相似变换将实对称阵的对角化实对称阵的相似矩阵并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称矩阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵的几个特征，说明它一定能相似对角化。*实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。（1）两端取转置，得：注：一般n阶实矩阵的特征值虽然一定有n个，但不一定都为实数。*性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。性质1说明实对称矩阵的特征值全为实数，当特征方程组的系数都是实数时，它的解也都是实数，故实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量证**性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。推论：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。即的基础解系所含向量个数为（则）知道结论即可对于任一阶实对称矩阵，一定存在阶正交矩阵使得其中是以的个特征值为对角元素的对角阵。证：设实对称阵的互不相等的特征值为它们的重数依次为则由性质3，特征值（重数为）对应的线性无关的特征向量为个。定理：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。*又是实对称阵，上面得到的个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵，有不同特征值对应的特征向量正交，其中的对角元素含有个个个恰是的个特征值。把它们正交化，再单位化，即得个单位正交的特征向量。所以，可得这样的单位正交向量个。*二、实对称矩阵的相似对角化过程：*再单位化，得：*用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：**即必须注意：对角阵中的顺序要与特征向量的排列顺序一致。***补充***③传递性：如果B与A合同，C与B合同，那么C与A合同。①自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为EAE=A②对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为由可以得出

矩阵的合同~.合同矩阵具有自反性、对称性、传递性。*等价、相似、合同的关系：~但反之均不成立。一般而言，相似与合同没有关系。但，正交相似就是合同。定理：实对称矩阵一定与对角阵合同。事实上，由可得

合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的.*思考题*思考题解答**