在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一.前面一章应用克莱姆法则解线性方程组时,所给线性方程组要满足两个条件:第一,方程的个数应该等于方程组中未知数的个数;第二,方程组的系数行列式不能等于零。但是,我们常常遇到的方程组中方程的个数不等于未知量的个数,有时还遇到方程组中方程的个数虽然与未知量的个数相等,但是其系数行列式等于零.在这些情况下,就不能用克莱姆法则直接求解.本章针对一般形式的线性方程组讨论以下三个问题(1)如何判别一个线性方程组是否有解;(2)解是否唯一;(3)如何求解.线性方程组*知识点理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件理解齐次线性方程组的解空间,基础解系及通解的概念,掌握基础解系和通解的求法理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念掌握用矩阵的初等行变换求线性方程组通解的方法*齐次线性方程组一、齐次线性方程组称为齐次线性方程组。系数矩阵方程组的矩阵形式二者等价*解几个概念解向量两个方程同解显然是方程组的解；称为零解或平凡解。若非零向量是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。*问题齐次问题除零解外,还存在其他解?在什么条件下,有非零解?若存在非零解,如何求出全部的解?*齐次线性方程组解的性质性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：性质2：所以也是方程组的解向量。证：因为是方程组的解向量，故证：由于故是方程组的解向量。*由上述性质知，若都是方程组的解向量，为任意数，则仍是方程组的解。称为通解齐次线性方程组的全部解向量构成了一个向量空间，称为方程组的解空间，令则V是的一个子空间,同时也可称之为A的零子空间从几何上看，这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方程表示一个过原点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.*定义：若齐次方程组的有限个解满足：则称也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：齐次线性方程组基础解系的求法1.行最简形矩阵：如果线性方程组有非零解，则它一定有无穷多解，要求线性方程组的所有解，只需求出解空间的一个基即可*设r(A)=rn,且不妨设A中最左上角的r阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵A化为：显然：行最简形*为：真未知量自由未知量由自由未知量惟一确定***从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于n-r(A).综上有：必须牢记：基础解系所含向量的个数为未知数个数减系数矩阵的秩。推论1：对齐次线性方程组，有若r(A)=n则方程组有惟一零解;若r(A)=rn，则方程组有无数多解，其通解为*推论2对n元齐次线性方程组：解题步骤：有非零解其系数矩阵为降秩矩阵.①写出系数矩阵并将其化为行最简形I；②由I确定出n–r个自由未知量(可写出同解方程组);④写出通解③令这个n-r自由未知量分别为基本单位向量可得相应的n–r个基础解系*例1：求方程组的通解解：同解方程组为基础解系为通解为*例2：求方程组的通解同解方程组为基础解系为：*Ex:在该题中，若取基础解系为：这说明基不惟一*例设是的一个基础解系，，求证：线性无关当然也可以用线性无关的判定定理*证例得证.*Ex设A为n阶方阵，证明：r(An)=r(An+1)Ex设A为n阶方阵，若存在正整数k，使得方程AkX＝0有非零解Y，且Ak-1Y≠0,证明：Y,AY,…,Ak-1Y线性无关Ex设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则