*若ri表示第i行，cj表示第j列，则性质中的变换可以用以下符号表示：*第i行第i行第j行第j行*下面给出展开式的证明引理如果n阶行列式中第i行除aij外其他元素全为0，即则分两步*展开定理的证明**几个例题*=9*一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。*若n为奇数，A为反对称矩阵，则n阶行列式|A|=0性质7设A、B均为n阶方阵，c为常数，则非奇异矩阵：|A|≠0奇异矩阵：|A|=0方阵例设n阶方阵A满足：A2－A－2E＝0，证：A为非奇异方阵A(A-E)=2E注意条件重要*例其中A为三阶方阵*拉普拉斯（Laplace）定理k级子式：在一个n级行列式D中任选定k行k列（k≤n），位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，为D的一个k级子式k级子式的余子式：当k＜n时，在D中划去k行k列后余下元素按原来次序组成的(n-k)级行列式M和是一对互余的子式例对矩阵Amn：也有此概念，个数为CmkCnk*引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，且符号也一致拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积和等于行列式D是行列式展开式的推广，主要用于理论证明*推论两个n级行列式的乘积仍为一个n级行列式，即则i.e**故可以？**简单情形和复杂情形方阵行列式及其性质行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用.本部分主要介绍行列式的概念、性质和计算方法.第一章*教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.教学要求：理解行列式的概念，深刻理解方阵与方阵的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理.教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法.教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.*用消元法求解，得：
当时，求得方程组有唯一解：方阵行列式的定义?二元线性方程组1n阶行列式的引出*系数矩阵为方程组的解可以写成：机动目录上页下页返回结束记为A的二阶行列式*例1解二元线性方程组解由于二阶行列式的应用*三元线性方程组
用消元法可求得，当时，三元线性方程组有唯一解：*其中：三阶行列式的定义对角线规则（沙流氏规则)*例2解三元线性方程组解由于所以，方程组的解为，，.三阶行列式的应用*n元线性方程组构造：二、三阶行列式的推广*提出三个问题（1）D=？（怎么算）？（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式是否是机动目录上页下页返回结束*2全排列及其逆序数2.1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321.一般地，把n个不同的元素排成一列(n级排列)，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题.从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：机动目录上页下页返回结束*2.2逆序数对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数p1,p2,…,pn，规定由小到大为标准次序）.于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一