南京工程学院线代a期末试卷及答案
一、选择题（每题3分，共15分）
1.矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。
A.可逆
B.不可逆
C.可逆或不可逆
D.无法确定
答案：B
2.向量组a1，a2，a3线性相关，则（）。
A.向量a1，a2线性无关
B.向量a1，a2，a3中至少有一个向量可以由其余向量线性表示
C.向量a1，a2，a3中至少有两个向量线性无关
D.向量a1，a2，a3中至少有一个向量可以由其余向量线性表示
答案：B
3.若矩阵A和B满足AB=0，则（）。
A.A=0或B=0
B.A和B中至少有一个为零矩阵
C.A和B中至少有一个为非零矩阵
D.A和B中至少有一个为零矩阵或A和B中至少有一个为非零矩阵
答案：B
4.矩阵A的秩为2，矩阵B的秩为3，则矩阵AB的秩（）。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
5.矩阵A和B满足AB=E，则矩阵A和B（）。
A.均为零矩阵
B.均为非零矩阵
C.均为非零矩阵且可逆
D.均为非零矩阵且不可逆
答案：C
二、填空题（每题3分，共15分）
6.若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。
答案：-1/2
7.若矩阵A的秩为2，则矩阵A的零空间的维数为______。
答案：n-2（n为矩阵A的列数）
8.若向量a1，a2，a3线性无关，则由向量a1，a2，a3构成的矩阵的行列式为______。
答案：非零
9.若矩阵A和B满足AB=E，则矩阵A和B均为______矩阵。
答案：可逆
10.若矩阵A的秩为2，则矩阵A的列空间的维数为______。
答案：2
三、计算题（每题10分，共30分）
11.计算矩阵A=\[\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\]的行列式。
答案：0
12.计算矩阵A=\[\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\]的逆矩阵。
答案：\[\begin{bmatrix}-21\\1.5-0.5\end{bmatrix}\]
13.计算向量a=\[1,2,3\]和向量b=\[4,5,6\]的点积。
答案：32
四、证明题（每题10分，共20分）
14.证明：若矩阵A和B满足AB=E，则矩阵A和B均为可逆矩阵。
证明：由题意知，AB=E，即AB是单位矩阵。根据矩阵乘法的性质，若AB=E，则A和B均为可逆矩阵。因为若A或B中有一个不可逆，则AB不可能为单位矩阵。所以，矩阵A和B均为可逆矩阵。
15.证明：若矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为n-r。
证明：设矩阵A为m×n的矩阵，其秩为r。根据秩-零度定理，矩阵A的秩加上矩阵A的零空间的维数等于矩阵A的列数，即r+dim(N(A))=n。所以，矩阵A的零空间的维数为n-r。
五、应用题（每题10分，共10分）
16.已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：矩阵A的特征值为-1和5，对应的特征向量分别为\[\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\]和\[\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\]。