基于思维发展设计数学教学
数学思维既是学生认识数学的工具，又是学生掌握数学的武器。核心素养背景下的数学教学应将培养学生思维能力放在首要位置。实践证明，重视学生思维发展的课堂，可促使学生实现客观知识与主观意识间的平衡，从而让学生更好地发现问题、提出问题。教师应基于学生思维发展的视角设计教学活动，引导学生在活动中发展思维和提升学力。笔者以“圆的面积\为例，探讨如何基于学生的思维发展设计教学过程。
一、教学简录
1.情境创设，揭示研究主题
教师借助多媒体播放一只羊的活动视频。画面中，一只被拴着的羊，转了一圈又一圈。
师：请用数学的眼光分析，由这段视频想到了什么？
大部分学生想到了圆，以拴羊的木桩为圆心，绳子就是该圆的半径；有的学生从羊转了一圈又一圈想到了圆的周长。
师：关于圆的周长计算，大家都不陌生。该圆的面积是什么呢？
生1：该圆的面积就是羊的活动范围。
师：很好！如果想让这只羊吃到更多的草，就需要扩大它的活动范围，该怎么处理呢？
生2：只要将绳子放长一点就行。
师生活动：教师用多媒体展示绳子加长后的画面，让学生对比前后两次所形成的圆，比较面积发生的改变。显然，绳子加长后，圆的面积增大了。由此获得结论：圆的面积和圆的半径有直接关联。
设计意图：多媒体是现代教学中重要的辅助工具。教师借助多媒体展示学生感兴趣的羊吃草视频，不但成功揭示了教学主题，而且有效激活了学生的思维，让学生初步感知：圆的半径直接影响圆的面积。圆的半径和面积之间，究竟存在怎样的关系呢？这是本节课要着重探索的问题。这是一个目标明确、条理清晰的导入过程，符合《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）对当前数学教学的要求。
2.活动探索，厘清知识联系
如图1，为了让研究更加直观，教师引导学生借助几何画板进行演示：以正方形的某个顶点为圆心、一条边为半径画圆，并鼓励学生大胆猜想：画出来的圆的面积与正方形面积是什么关系？
图1
生3：圆的面积应该比正方形面积的4倍少一些。
师：能说说这么想的原因吗？
生4：观察图1，如果将该圆平均分成4份，那么每1份的面积都小于正方形的面积，因此圆的面积必然小于正方形面积的4倍。
师：非常好，如果我们想要明白圆的面积比正方形面积的4倍少多少？该怎么办呢？
生5：可以先分别求出两者的面积，然后运算即可。如图2，若正方形的边长为4，那么圆的半径就是4，正方形的面积为4×4=16，圆的面积只能通过数小格子的方式获得，但圆所对应的小格子存在不满格的情况，只能获得大概数据。
图2
学生在估算的基础上，数出图2中个圆的面积约为13，那么整个圆的面积约为52。将圆的面积与正方形面积进行对比，计算可得圆的面积约为正方形面积的3.25倍，由此验证了之前的猜想，即圆的面积比正方形面积的4倍少一点。
师：如果换一个圆来研究，这样的关系依然存在吗？请各组按照以上的探索过程，在草稿纸上画图、分析和验证。
学生在自主画图与计算的基础上进行合作交流，展示探索结论
组1：如果正方形的边长为5，那么它的面积就是25，通过数方格的方法可知圆的面积约为78，计算发现圆的面积约为正方形面积的3.12倍。
组2：如果正方形的边长为6，那么它的面积就是36，通过数方格的方式可知圆的面积约为114，计算发现圆的面积约为正方形面积的3.17倍。
...
各组分享交流后，一致认为：在圆的半径与正方形边长相等的背景下，圆的面积为正方形面积的3倍多一点。
师：从以上探索过程中不难发现，圆的面积与正方形面积的关系，实则为圆的面积与其半径平方之间的关系。虽然各组所获得的比值不一样，但它们的区间基本是固定的，这与之前我们所接触过的一个什么知识接近？
生6：圆周率，理由是刚刚所探索的结论都在3.14附近摇摆。
师：据此，可初步形成什么猜想？
生7：圆的面积可能是π与半径的平方相乘。
设计意图：新课标强调，课堂上教师要引导学生多尝试，多创造活动，促使学生从中发现规律，形成良好的合情推理能力。在教师恰当的点拨下，学生自主猜想圆的面积公式，取得了较好的成效。
3.操作转化，推导计算公式
师：以上互动，大家初步形成了一个比较有意思的猜想，即圆的面积可能是π与半径的平方相乘。这个猜想是否正确呢？可否继续以数方格的方式验证？
生8：数方格的方式验证，误差比较大，应该考虑用其他方式验证。
师：可以用其他什么方式验证呢？
生9：根据以往的学习经验，研究未知图形面积时，可以考虑将它转化为熟悉的图形来研究。
师：哦？圆能转化成什么图形呢？
生10：（犹豫片刻后提出）用“剪拼\法试一试：将圆对半剪开后，无法拼成熟悉的图形；继续将圆剪成4份，拼成的图形见图3，虽然形成的图形有点像平行四边形，但边为曲线，显然不是平行四边形。
图3
师：现在该怎么办呢？
生11：如图4所示，继续剪，将圆平均分成8份，拼接