关于导数的几何意义第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日复习：1、函数的平均变化率2、函数在某一点处的导数的定义（导数的实质）3、函数的导数、瞬时变化率、平均变化率的关系第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy▲如图：PQ叫做曲线的割线那么，它们的横坐标相差（）纵坐标相差（）导数的几何意义:斜率▲当Q点沿曲线靠近P时，割线PQ怎么变化？△x呢？△y呢？第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日PQoxyy=f(x)割线切线T导数的几何意义:我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.PQoxyy=f(x)割线切线T第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日【例1】求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线的方程。k=解：△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)2-1=2△x+（△x）2∴曲线在点P(1,1)处的切线的斜率为因此，切线方程为y-1=2(x-1)即：y=2x-1第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日（4）根据点斜式写出切线方程求斜率【总结】求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的方法：(1)求△y=f(x0+△x)-f(x0)k=第7页，共20页，星期日，2025年，2月5日练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.第8页，共20页，星期日，2025年，2月5日第9页，共20页，星期日，2025年，2月5日在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:第10页，共20页，星期日，2025年，2月5日【例2】k=第11页，共20页，星期日，2025年，2月5日(5)根据点斜式写出切线方程【总结】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的步骤：k=(1)设切点(x0，f(x0))(3)用(x0，f(x0))，P(x1,y1)表示斜率(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k第12页，共20页，星期日，2025年，2月5日归纳总结①判断已知点是否在曲线上，若不在曲线上则设切点为(x0,y0)；②利用导数的定义式求切线斜率③根据点斜式写出切线方程1、导数的几何意义2、利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：第13页，共20页，星期日，2025年，2月5日随堂检测：1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求（1）点A处的切线的斜率；（2）点A处的切线方程。2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线的方程。第14页，共20页，星期日，2025年，2月5日