二、几个初等函数麦克劳林公式第三节一、泰勒公式建立三、泰勒公式应用应用目标－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式第1页
特点:一、泰勒公式建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要处理问题怎样提升精度?怎样预计误差?x一次多项式第2页
1.求n次近似多项式要求:故令则第3页
2.余项预计令(称为余项),则有第4页
第5页
公式①称为n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式拉格朗日余项.泰勒(Taylor)中值定理:阶导数,时,有①其中②则当泰勒第6页
公式③称为n阶泰勒公式佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项准确表示式时,泰勒公式可写为注意到③④*能够证实:④式成立第7页
特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差第8页
称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差预计式若在公式成立区间上麦克劳林由此得近似公式第9页
二、几个初等函数麦克劳林公式其中麦克劳林公式第10页
其中麦克劳林公式第11页
麦克劳林公式类似可得其中第12页
其中麦克劳林公式第13页
已知其中所以可得麦克劳林公式第14页
三、泰勒公式应用1.在近似计算中应用误差M为在包含0,x某区间上上界.需解问题类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并预计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x适用范围.第15页
例1.计算无理数e近似值,使误差不超出解:已知令x=1,得因为欲使由计算可知当n=9时上式成立,所以麦克劳林公式为第16页
说明:注意舍入误差对计算结果影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超出总误差限为这时得到近似值不能确保误差不超出所以计算时中间结果应比精度要求多取一位.第17页
例2.用近似公式计算cosx近似值,使其准确到0.005,试确定x适用范围.解:近似公式误差令解得即当时,由给定近似公式计算结果能准确到0.005.第18页
2.利用泰勒公式求极限例3.求解:因为用洛必达法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,第19页
3.利用泰勒公式证实不等式例4.证实证:+第20页
内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.第21页
2.惯用函数麦克劳林公式(P142~P144)3.泰勒公式应用(1)近似计算(3)其它应用求极限,证实不等式等.(2)利用多项式迫近函数比如第22页
泰勒多项式迫近6422464224O第23页
泰勒多项式迫近642246O4224第24页
思索与练习计算解:原式第四节作业P1451;4;5;7;8;*10(1),(2)第25页
泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优异代表人物之一,主要著作有:《正和反增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了当代形式泰勒公式.他是有限差分理论奠基人.第26页
麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他名字命名麦克劳林级数.第27页
证:由题设对备用题1.有且点第28页
下式减上式,得令第29页
两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q为正整数),则当时,等式左边为整数;矛盾!2.证实e为无理数.证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.第30页