数学试卷
注意事项:
1.答题前、考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合A={x,y∣y≥a},
A.a=-1
C.a=1
2.已知复数z1,z2是关于x的实系数一元二次方程2x2+px+q=
A.13B.4C.6D.16
3.平面向量a与b相互垂直,已知a=-3,4,b=10,且
A.(-6,8)B.(8,6)
C.(-8,6)D.(-8,-6)
4.若tanα+π4=
A.-725
C.-2425
5.已知函数fx=ln1+ax1
A.?a∈
B.?a∈
C.?a∈
D.?a∈
6.已知方程sin13x-π6=12在区间0
A.3πB.4πC.5πD.6π
7.已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1,E,F
A.512B.
C.712D.
8.对于二次函数fx=ax2+bx+ca0
A.f-b
C.ff-b
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知A,B为随机事件A,B的对立事件,PA0
A.P
B.P
C.P
D.P
10.设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0的左、右焦点,过F1作C的一条渐近线的垂线l,垂足为
A.双曲线的实轴长为2
B.双曲线的离心率为13
C.点P到x轴的距离为18
D.四边形PHOF2
11.已知数列an满足a1=
A.an
B.a
C.1
D.3
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12.fx=ex?sin2x
13.写出一条与圆x2+y-342
14.在平面直角坐标系xOy中,点集K={x,yx∣≤1,y≤1,
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,
(1)求证:B=2C
(2)若c=5,b=215
16.(本小题满分15分)
一个抽奖箱中装有标有数字1,2,3,4,5的奖券各2张,从中任意抽取3张,每张奖券被取出的可能性相等.
(1)求一次取出的3张奖券中的数字之和不大于5的概率；
(2)用X表示取出的3张奖券中的最大数字,求随机变量X的分布列和数学期望EX
17.(本小题满分15分)
如图1,已知曲线C1:x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别是F1,F2,曲线C2:y2=2pxp0的焦点是F2,点P是C1与C2
图1
(1)求曲线C1和曲线C2
(2)若△F1AB与△F1MN面积分别是S1,
18.(本小题满分17分)
如图2,在平面四边形ABCD中,AB=BC=2,AC=CD=DA=2,将△ACD沿AC翻折至
(1)设SB=2,点F在棱SB
(i)证明:AC⊥
(ii)当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABS所成的角的正弦值
(2)求平面ASC与平面BSC夹角余弦值的最小值.
图2
19.(本小题满分17分)
已知曲线E:y=4-x2,曲线
(1)证明:E与F存在唯一交点;
(2)在(1)的条件下,设交点为Ax0,y0,作E在点A处的切线,交x
(i)证明:AB2
(ii)若F在点Cx1,logax1+1处的切线与AB垂直,证明: