广东省清远市四校联年高二上学期期中数学（解析版）
一、选择题（每题1分，共5分）
1.已知函数$f(x)=x^22x+3$，则$f(x)$在$x=1$处的导数为（）
A.0
B.2
C.2
D.1
2.若向量$\vec{a}=(2,3)$和向量$\vec{b}=(3,2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）
A.0
B.5
C.5
D.12
3.在直角坐标系中，点$P(2,3)$关于原点的对称点是（）
A.$(2,3)$
B.$(2,3)$
C.$(2,3)$
D.$(3,2)$
4.若直线$y=2x+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，则该圆的半径为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$且$a_{n+1}=2a_n$，则$a_5$的值为（）
A.16
B.8
C.4
D.2
二、判断题（每题1分，共5分）
1.若$f(x)$在某区间内单调递增，则其导数$f(x)$在该区间内恒大于0。（）
2.向量$\vec{a}$和$\vec{b}$共线当且仅当$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。（）
3.平行四边形的对角线互相垂直。（）
4.函数$f(x)=x^3$在整个实数域内单调递增。（）
5.若$\triangleABC$的三边长分别为$a,b,c$，则$a^2+b^2=c^2$是直角三角形的充分必要条件。（）
三、填空题（每题1分，共5分）
1.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$处的导数为______。
2.已知$\vec{a}=(1,2)$，则$|\vec{a}|=$______。
3.若直线$y=mx+b$经过点$(2,3)$且斜率为1，则该直线的方程为______。
4.已知$\triangleABC$的三边长分别为3、4、5，则其面积为______。
5.若$a,b,c$是等差数列，且$a+b+c=12$，则$b=$______。
四、简答题（每题2分，共10分）
1.简述函数的极值与导数的关系。
2.证明：若$\vec{a}$和$\vec{b}$垂直，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。
3.求解不等式$x^24x+30$。
4.简述圆的标准方程及其几何意义。
5.已知数列$\{a_n\}$为等差数列，求证：$a_{n+1}a_n$为常数。
五、应用题（每题2分，共10分）
1.某工厂生产某产品，其成本函数为$C(x)=0.5x^2+10x+100$，其中$x$为生产数量。求当生产数量为多少时，成本最低。
2.已知$\vec{a}=(1,2)$和$\vec{b}=(2,1)$，求$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}\vec{b}$。
3.在直角坐标系中，点$P(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$Q$，求点$Q$的坐标。
4.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$且$a_{n+1}=2a_n+1$，求$a_3$的值。
5.已知函数$f(x)=x^22x+3$，求其在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。
六、分析题（每题5分，共10分）
1.已知函数$f(x)=x^33x$，分析其在区间$(1,1)$上的单调性。
2.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，求$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。
七、实践操作题（每题5分，共10分）
1.已知直线$y=2x+1$和圆$x^2+y^2=4$，求它们的