长沙市第一中学2024—2025学年度高二第二学期期中考试
数学
时量：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将分式不等式转化为整式不等式组求解，确定后求交集得.
【详解】∵，∴，，解得，
∴，又，
∴.
故选：B.
2.已知复数满足，则的虚部是（）.
A.2.B.-2.C.2i.D.-2i.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念，可得出结果.
【详解】由，可得，所以的虚部是-2，
故选：B.
3.已知平面向量，，若，则实数（）
A.1B.-1C.-4D.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行得到方程，求出答案.
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【详解】因为，，且，所以，解得.
故选：A.
4.已知，，则的值为（）
A.B.C.D.或
【答案】C
【解析】
【分析】由同角的三角函数的关系可得，再由两角和的余弦可求的值.
详解】由于，，故，
，
故选：C.
5.已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举
行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员
中任选一名运动员能够晋级的概率为（）
A.0.42B.0.46C.0.51D.0.62
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意确定全概率公式中各量，再由全概率公式计算可得.
【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二
级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”，
则，，，
又根据题意可得，，，
∴由全概率公式可得：
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，
∴任选一名运动员能够晋级的概率为0.51.
故选：C.
6.已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为
0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且
，则双曲线的渐近线方程为（）.
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】设的内切圆分别切，于点，，然后结合三角形内切圆的性质以及双曲线的
定义可求得，再结合可求出，从而可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】设的内切圆分别切，于点，，
则，，，
因为，所以，
得，
所以，即，①
因为，所以，
即，②，
所以①+②，得，得，
因为，所以，所以，
所以双曲线：的渐近线方程为，
即.
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故选：D.
7.已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面
上，则球O的表面积为（）
A.11πB.12πC.36πD.44π
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，题目条件可得平面，从而可得球心在在上，设，结合
可得，进而可得球体半径，即可判断选项正误.
【详解】由正方体的性质可知，平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
又，平面，所以平面，
设，则为的中点，设，
由正方体的对称性易知为等边的中心，
则如图所示，球心在上，
设，，，
所以，
所以，，
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所以，
因为球的半径，即，
解得，所以，则球O表面积为.
故选：D.
8.对，设是关于x的方程的实数根，数列满足
其中符号表示不超过的最大整数，则（）
A.1013B.1015C.2025D.2027
【答案】C
【解析】
【分析】先利用导数判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断，从而可求，故可
求.
【详解】设函数，则，
当是正整数时，可得，则为增函数，
因为当时，，
且，
所以当时，方程有唯一的实数根且，
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所以，，，
又，
因此.
故选：C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.若回归方程为，则变量x与y负相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的