§1.2常用逻辑用语
课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的条件，q是p的条件
p是q的条件
p?q且q不能推出p
p是q的条件
p不能推出q且q?p
p是q的条件
p?q
p是q的条件
p不能推出q且q不能推出p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“”表示，读作“对任意的”．
(2)存在量词：诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“”表示，读作“存在”．
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
?x∈M，x具有性质p(x)
?x∈M，x具有性质p(x)
否定
?x∈M，x不具有性质p(x)
?x∈M，x不具有性质p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A?B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；
(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．()
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．()
(3)“x1”是“x0”的充分不必要条件．()
(4)命题“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．()
2．(多选)已知命题p：?x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是()
A．p是真命题
B．p的否定：?x∈R，x＋20
C．p的否定是真命题
D．p的否定：?x∈R，x＋20
3．设x0，y0，则“x2y2”是“xy”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________________________.
题型一充分、必要条件的判定
例1(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)在等比数列{an}中，“a10，且公比q1”是“{an}为递增数列”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
思维升华充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p?q，q?p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
跟踪训练1(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的()
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二充分、必要条件的应用
例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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