§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的旋转所成的图形．
(2)分类
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为_____、_____、_____.,按终边位置不同分为______和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转的量所成的两个角叫作互为相反角．角α的相反角记为.
(4)终边相同的角：给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：在单位圆中，把长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝____
弧长公式
弧长l＝____
扇形面积公式
S＝___＝____
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sinα＝，cosα＝，tanα＝___(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝___(x≠0)，其中r＝____.
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
3．若角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinααtanα.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．()
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．()
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关．()
(4)若sinα0，则α是第一或第二象限角．()
2．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)
3．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sinθ＋cosθ等于()
A.eq\f(17,13)B．－eq\f(17,13)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)
4．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度.
题型一角及其表示
例1(1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则()
A．－α是第一象限角
B.eq\f(α,2)是第三象限角
C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
eq\f(θ,2)终边所在位置
若θ分别为第一、二、三、四象限角，则eq\f(θ,2)的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示．
典例已知θ为第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，则角eq\f(θ,2)的终边在()
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2023·湖州模拟)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______________.
思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq\f(α,k)(k∈N+)的终边位置的方法
先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．
跟踪训练1(1)(2023·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
(2)终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α构成的集合为_______________________．
题型二弧度制及其应用
例2(1)已知一扇形的圆心角α＝eq\f(π,3)，半径R＝10cm，则此扇形的弧长