§10.1基本计数原理与排列组合
课标要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念.
3.能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．基本计数原理
(1)完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝__________________种方法．
(2)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
2．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素
按照___________排成一列
组合
作为一组
3.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有______________的个数，用符号________表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有______________的个数，用符号________表示．
4．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)Aeq\o\al(m,n)＝___________________________________＝____________
(n，m∈N＋，且m≤n)．
(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)
＝_____________(n，m∈N＋，且m≤n)．特别地Ceq\o\al(0,n)＝1.
性质
(1)Aeq\o\al(0,n)＝_____；0！＝______；Aeq\o\al(n,n)＝______.
(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝______________.
常用结论
1．排列数、组合数常用公式
(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).
(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).
(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．()
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()
2．(多选)下列结论正确的是()
A．3×4×5＝Aeq\o\al(3,5)
B．Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝Ceq\o\al(2,6)
C．若Ceq\o\al(x,10)＝Ceq\o\al(2x－2,10)，则x＝3
D．Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(6,7)＝64
3．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为________，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为________．
4．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种.
题型一计数原理
例1(1)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()
A．60B．48C．36D．24
(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()
A．144