§7.8空间距离及立体几何中的探索性问题
课标要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．
知识梳理
1．点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝________.
2．点到平面的距离
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量eq\o(PA,\s\up6(→))，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝_____.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．()
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．()
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()
2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()
A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(10),2)D.eq\f(3\r(2),2)
3．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是()
A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(7),7)C.eq\f(\r(6),6)D.eq\f(6,7)
4．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
题型一空间距离
命题点1点线距离
例1(2023·连云港模拟)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.
(1)证明：OA⊥BC；
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(2)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离．
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命题点2点面距离
例2(2024·常州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；
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