§7.5垂直关系
课标要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的__________垂直，那么该直线与此平面垂直
eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?a∥b
2.直线和平面的夹角
(1)定义：平面的一条斜线与它在平面上的所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角，一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角是0°.
(2)范围：_______.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形称为二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角．
(3)二面角的范围：．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的_________，那么这两个平面垂直
eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直
eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,))?AB⊥α
常用结论
1．三垂线定理
若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.()
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()
2．(多选)下列命题中不正确的是()
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3．(2023·石嘴山模拟)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是()
A．PA⊥平面ABC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥平面PBC
D．三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形
4．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的eq\f(2\r(3),3)倍，则斜线与平面α的夹角是________．
题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1(2024·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.
(1)若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1；
(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周长．
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