初中数学竞赛精品原则教程及练习(５６)
列表法
一、内容提纲
只要有也许，依题意画个图或列个表给问题以直观描述,对解题大有好处.由于图表常能把数据题设和结论之间互有关系,有条不紊地形象体现出来,尤其是纵横关系较多问题,运用图表,不仅便于思索答题方案,还可以作为答题环节.
图解已在枚举法，交集法等处简介过,本讲重要简介表解.
使用表解关键是合理地设计纵横栏目.其前提是对的地理解题意，明确各条件之间附属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一种最基本定律，就是排中律，即“不是真，必为假”,“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件,逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰基本上，推出满足所有条件结论.
二、例题
例1.ｎ为正整数，试证2n+７ｎ+2能被5整除.
解：n分别取1,２，3,４时，观测2n+７n+2个位数字状况如下：
n
1
2
3
４
2ｎ个位数
2
4
８
6
７ｎ+２个位数
３
1
7
9
2n+７n＋2个位数
５
5
5
５
并且∵24ｋ+n与2n；7４ｋ＋(n＋2)与7n＋2(k为整数)个位数字相似.
∴n无论取什么自然数值，2n+7n+2均能被5整除..
例2．小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，她从甲地到乙地步行和骑车走了同样长旅程;然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多时间，成果返回时比去时少用了４0分钟．求甲、乙两地距离及从乙到甲所用时间.
解:设甲乙两地距离为x里,从乙到甲所用时间是y小时.列表如下:
从甲到乙
从乙到甲
S
里
里
ｘ里
V
V步=10
V车＝3０
V步=10
V甲=30
T
ｙ+(时)
根据题意，得
解这个方程组,得
答：甲乙两地距离为40里,从乙返甲用了２小时．
例３.从１到1０这十个自然数中，每次取两个,要使它们和不不不小于10，共有几种取法？试列表记录.
解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数
较大数
较小数
取法种数
1０
1,2,3,4，５,6,７，8,9，
9
9
2,３，4,５,6，7，8，
7
8
3,４，5，6,7，
５
7
4，5,6，
3
６
5，
1
∴共有9+7+5+３＋1=2５种取法.
较小数
较大数
取法种数
1
10,
1
2
10，９,
２
3
10，9,8,
3
4
1０，９，8,7,
４
5
10,9，８，7，6,
5
６
１０，9,8，7，
4
7
１０，9，8,
3
８
１0,9，
２
９
１0,
１
共有1＋2＋3＋4＋5＋4+３+2+1=25种取法.
例４．A，Ｂ，C，D，E五个人,每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中一种．她们看见他人所戴帽子颜色，分别说了如下话:
A说:我看到是3白1红；B说：我看到是４红；
C说：我看到是1白３红；E说:我看到是4白.
已知戴白帽子人说真话,而戴红帽子人说假话．试判断Ａ,B,Ｃ，Ｄ,E各戴什么颜色帽子.
解：先由易到难，用否认判断法:
若Ｅ说了真话，则共有５白,即人们都说了真话,这与其她人所说内容相矛盾，因此E必是戴红帽；
若Ａ说了真话，则共有４白１红,那么除A、E以外,尚有2人说真话,就是Ｂ、Ｃ也说真话,这也不也许,因此A也戴红帽；
在确定A、Ｅ之后,咱们把B、Ｃ说真话或假话状况列表来判断:
A
B
Ｃ
D
E
设B说真话
红
白
红
设C说真话
红
红
白
白
红
若B说真话，则C、D都为红(∵B看到是4红）,那么Ｃ应是说假话,但C说1白3红却是真，因此矛盾,B没有说真话,应是戴红帽.
最终,Ｃ确实说了真话(看到１白3红).这时可知D是戴白帽．
∴A，B,C,D，Ｅ所戴帽子颜色分别是：红，红,白,白，红.
三、练习56
用列表法，求不等式（2x＋1)(ｘ－２)(ｘ－3)＜0解集
当x取值为
x-
－＜ｘ＜2
2＜x＜3
x3
2x+1符号
-
+
x－２符号
x-3符号
(2x＋1)(x-２)(x－３)符号
∴不等式(２ｘ+10(x-2)(x－3)０解集是_＿__＿___＿_＿_＿或____＿＿_＿___＿
ｎ为自然数,3ｎ与7ｎ和或差必有一种能被10整除.试证之，并阐明n取什么值时，其和能被10整除.
若自然数ａ不是2和