?1.5根与系数的关系
考点先知
考点先知
知识
考点
根与系数的关系
1.利用根与系数的关系求根
2.利用韦达定理判断根的正负
3.利用韦达定理求代数式的值
4.根据代数式的值求参数的值
5.韦达定理在三角形中的应用
代根法
6.代根发与韦达定理的应用
7.构造方程求代数式的值
题型精析
题型精析
知识点一根与系数的关系
知识点一根与系数的关系
内容
根与系数的关系的推导
由求根公式可得：，，
1.；
2..
【注意】韦达定理的使用前提是△≥0.
题型一利用韦达定理求方程的根
题型一利用韦达定理求方程的根
例1已知关于x的方程有一个根为2，则另一个根为（）
例1
A．5
B．2
C．1
D．5
【答案】C
【分析】根据关于x的方程有一个根为，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】∵关于x的方程有一个根为，设另一个根为m，
∴，
解得，，
故选C．
例2已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值
例2
设方程的另一个根为，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴方程的另一个根为，的值为1．
变1若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一根.
变1
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+3=0，
解得：b=4，
把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0，
设另一根为m，可得1+m=4，
解得：m=3，
则b的值为4，方程另一根为x=3.
变2若是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值.
变2
【答案】解：∵x=3+7是此方程的一个根，设另一个解为
则x1
∴x2
∵
∴c=(3+7
题型二利用韦达定理判断根的正负
题型二利用韦达定理判断根的正负
例1一元二次方程根的情况是（）
例1
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5
D．有两个正根，且有一根大于4
【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．
【解答】解：，
△，
方程有两个不相等的实数根；
设方程的两个根为，
则：，，
方程的有一个正根，一个负根；
故选：．
例2关于的方程为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）
例2
A．有两个相异正根
B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根
D．无实数根
【分析】先计算根的判别式的值得到△，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为，，利用根与系数的关系得，，根据有理数的性质得到、的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：方程化为一般式为，
△，
方程有两个不相等的实数解，
设方程的两个分别为，，
根据根与系数的关系得，，
方程有一个正根和一个负根．
故选：．
变1关于的一元二次方程有（）
变1
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根
D．一个正数根和一个负数根
【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．
【解答】解：，
△，
所以方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为、，则，则和异号，
即方程有一个正数根和一个负数根，
故选：．
变2关于的方程为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）
变2
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为，，利用根与系数的关系表示出与，判断即可．
【解答】解：设方程两根设为，，
方程整理得：，
由根与系数的关系得：，，
则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．
故选：．
例3一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（）
例3
A．a，c异号
B．a，c异号；a，b同号
C．a，c异号；b，c同号
D．b，c异号
【答案】B
【分析】设一元二次方程的两根为，根据根与系数的关键得到，再根据题意有，由此即可得到答案．
【详解】解：设一元二次方程的两根为，
∴，
∵一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大，
∴，
∴a，c异号；a，b同号，
故选B．
变3一元二次方程中，若，，，则这个方程根的情况是（）
变3
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有两个正的实数根
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况．
【解答】解：，，，
，
△，
方程有两个不相等的实数根，
．
两根异号，
故选：．
例4若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是（）
例4
A．
B．
C．
D．
【分析】根据根与系数的关系即可求出