数学建模*种群模型先介绍一些微分方程定性理论中的结论。考虑微分方程组二元方程组的根称为微分方程组（11）的平衡点。第23页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型设(x*,y*)?是方程组（11）的一个平衡点,令将P(x,y),Q(x,y)?在(x*,y*)?附近展开，略去高阶项，可得近似线性系统：第24页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型设系数矩阵的特征根为λ1，λ?2，则有以下结论：①λ1，λ?2是同号实数时：λi0(x*,y*)?是稳定点；λi0(x*,y*)?不是稳定点。②λ1，λ?2是异号实数时，?(x*,y*)点不是稳定点，称为鞍点。第25页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型③λ1，λ?2是共轭复数时：λ1，2＝a±bia0(x*,y*)?是稳定点；a0(x*,y*)不?是稳定点。微分方程组（11）的平衡点(x*,y*)?的稳定性，可以应用上述三条结论判定。第26页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型弱肉强食模型弱肉强食模型，生态学上称为食饵（Prey）—捕食者（Predater）系统，简称为P—P系统。二十世纪20年代中期，意大利生物学家D’Ancona研究鱼类种群间的制约关系。在研究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期，地中海各个港口的捕鱼资料中，鲨鱼等（捕食者）鱼类的比例有明显的提高（见下表）。第27页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学家V.Volterra，希望他能帮助建立一个P—P系统的数学模型，来解释这种现象。模型建立（Volterra模型）设食饵数量为x1(t)?，捕食者数量为x2(t)?。年份191419151916191719181919192019211922鲨鱼比例11.921.422.121.236.427.316.015.914.8第28页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型第一步：只考虑食饵。假定大海的资源非常丰富，食饵之间不存在竞争，则x1(t)将以固有增长率r1?的速度无限增长，即：x1’=r1x1.第二步：考虑到捕食者的存在，食饵的增长将受到限制，设降低的程度与捕食者数量成正比,即：x1’=x1(r1–α1x2)(14)比例系数α1反映捕食者的捕食能力。第29页，共41页，星期日，2025年，2月5日种群模型种群模型种群模型种群模型种群模型种群模型种群模型种群模型种群模型关于数学建模种群模型数学建模种群模型*第1页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型第三讲种群模型【主要内容】介绍动物群体的种群模型，包括单种群模型、多种群模型。【主要目的】了解微分方程稳定性理论在数学建模中的应用。建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。第2页，共41页，星期日，2025年，2月5日数学建模*种群模型单种群模型本节介绍Malthus模型、