3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式

[知识梳理]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α?β)：cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.

(2)S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

(3)T(α±β)：tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α±β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠±\f(π,4)＋kπ，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

3．公式的常用变形

(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．

(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，

sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).

(4)asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)．

特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．

(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－eq\f(1,2)sin22x.

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()

(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．()

(4)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()

答案(1)√(2)√(3)×(4)×

2．教材衍化

(1)(必修A4P131T5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()

A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)

答案D

解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq\f(1,2).故选D.

(2)(必修A4P146A组T3)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则tan(α＋β)＝________.

答案1

解析∵α＋β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,6)))，

∴tan(α＋β)＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,6))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))