4.2角平分线的性质与判定第一章三角形的证明北师大版八年级数学下册

学习目标1.证明三角形的三条角平分线交于一点.2.应用角平分线定理解决数学问题.

情境导入角平分线的性质与判定的内容是什么？定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

情境导入作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．

探索交流角平分线的性质1—例1.求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.ABCPEFMDN已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.

探索交流∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即∠A的平分线经过点P.证明：BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为D，E，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).ABCPEFMDN

探索交流比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等

例题解析例题欣赏?例2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.ACBED

例题解析∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角对等边）.12在等腰直角三角形BDE中，cm（勾股定理），∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E，∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.ACBED

例题解析（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED

例题解析例题欣赏?例3.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°A

例题解析例题欣赏?例4.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：DE＝BD＋CE.

例题解析证明：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB.∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD.同理可证OE＝CE，∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.

练习巩固B1在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的()A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对

练习巩固2.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°(已知)，∴CD＝DE(角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=ED(已证)，DF=DB(已知)，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB(全等三角形的对应边相等).CFAEDB

练习巩固3.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.ACBED

练习巩固ACBEDF证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE＝CF，AE＝AF（角平分线性质），∠CEB＝∠CFD＝90°